对数的运算课后训练（带解析新人教A版必修1）

一、选择题

1．若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数有()

①logaxlogay＝loga(x＋y)；

②logax－logay＝loga(x－y)；

③logaxy＝logaxlogay；

④loga(xy)＝logaxlogay.

A．0　 　 B．1　 　

C．2　 　 D．3

[答案]　A

[点拨]　对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减，乘的运算．在运算中注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算，如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．

2．下列各式错误的是()

①log101100＝－2；

②log333＝13；

③lga＋lg1a＝0(a＞0)；

④log318－log32＝3；

⑤log1014－log1025＝－2；

⑥2log510＋log50.25＝2.

A．④ B．⑤

C．⑥ D．全错

[答案]　A

[解析]　显然①②③成立；

④式左边＝log3182＝log39＝23，故④式不成立；

⑤式左边＝log101425＝log101100＝－2，

⑥式左边＝log5102＋log50.25＝log5(1000.25)＝log525＝2，故选A.

3．(2013～2014晋江高一检测)已知ab＝M(a＞0，b＞0，M1)，logMb＝x，则logMa的值为()

A．1x B．1＋x

C．1－x D．x－1

[答案]　C

[解析]　logMa＝logMMb＝logMM－logMb＝1－x，故选C.

4．已知2x＝9，log283＝y，则x＋2y的值为()

A．6 B．8

C．4 D．log48

[答案]　A

[解析]　∵2x＝9，x＝log29，

x＋2y＝log29＋2log283＝log29＋log2649＝log2(9649)＝log264＝6，

故选A.

5．(2013～2014克拉玛依高一检测)若p＝log23log34，Q＝lg2＋lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是()

A．P＝Q B．Q＝M

C．M＝N D．N＝P

[答案]　B

[解析]　P＝log24＝2，Q＝lg2＋lg5＝1

M＝1，N＝0，Q＝M，选B.

6．(2013～2014曲靖高一检测)已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A的值是()

A．7 B．72

C．72 D．98

[答案]　B

[解析]　x＝log2A，y＝12logA7，

1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝logA2＋2logA7＝logA(272)＝logA98＝2，A2＝98，

A＝72，故选B.

二、填空题

7．(2013～2014河北孟村回民中学月考试题)化简

log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3)＝________.

[答案]　32

[解析]　log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3)

＝log2[(1＋2)2－32]＝log222＝log2232＝32.

8．计算lg5lg20＋(lg2)2＝________.

[答案]　1

[解析]　原式＝lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.

9．log43log13432＝________.

[答案]　－58

[解析]　原式＝log43(－14log332)＝－14log432＝－14log2225＝－1452＝－58.

三、解答题

10．若a＞0且a1，x＞y＞0，nN*，则下列各式：

(1)(logax)n＝nlogax；

(2)(logax)n＝logaxn；

(3)logax＝－loga1x；

(4)logaxlogay＝logaxy；

(5)nlogax＝1nlogax；

(6)logaxn＝loganx；

(7)logax＝loganxn；

(8)logax－yx＋y＝－logax＋yx－y.

其中成立的有多少个．

[解析]　利用对数的运算性质判断各式是否正确即可．

(1)是错误的，如(log24)3＝83log24＝6；

(2)是错误的，如(log24)3＝8log243＝log226＝6；

(3)是正确的，因为－loga1x＝－logax－1＝logax；

(4)是错误的，如log24log22＝2log242＝1；

(5)同①一样，也不正确；

(6)是正确的，因为loganx＝logax1n ＝1nlogax；

(7)是正确的，设loganxn＝y，则(an)y＝xn，

即x＝nany＝anyn＝ay，所以y＝logax，即loganxn＝logax；

(8)是正确的，因为logax－yx＋y＝loga(x＋yx－y)－1

＝－logax＋yx－y.所以成立的有4个．

[点评]　利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，运用对数的运算性质时一要注意真数必须大于0；二要注意积、商、乘方的对数运算对应着对数的和、差、积的运算．

11．计算：(1)(log3312 )2＋log0.2514＋9log55－log31；

(2)lg25＋23lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.

(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.

[分析]　直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．

[解析]　(1)(log3312 )2＋log0.2514＋9log55－log31＝(12)2＋1＋912－0＝14＋1＋92＝234.

(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102lg(102)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(254)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.

(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23

＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋lg6－lg10＋lg2

＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3lg2＋lg3＋lg2＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1.

[点评]　在解题中，对于常用对数要注意要10＝25,2＝105,5＝102的拆解与公式的灵活运用．

12．已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.

[分析]　本题是不同底数的对数之间的运算，解答本题可先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则求解．

[解析]　解法一：log189＝a,18b＝5，log185＝b，

log3645＝log1845log1836＝log1895log18182＝log189＋log1851＋log182

＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.

解法二：∵log189＝a,18b＝5，log185＝b，

log3645＝log1895log18189＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.

解法三：∵log189＝a,18b＝5，lg9＝alg18，lg5＝blg18.

log3645＝lg45lg36＝lg95lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9

＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a.