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高中数学用二分法求方程的近似解练习题(含答案新人教A版必修1)

2016-10-26 收藏

高一数学用二分法求方程的近似解练习题(含答案新人教A版必修1)

一、选择题

1.用二分法如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是()

A.x1 B.x2

C.x3 D.x4

[答案] C

2.在用二分法求函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取区间(a,b)上的中点c=a+b2,若f(c)=0,则函数f(x)在区间(a,b)上的唯一零点x0()

A.在区间(a,c)内 B.在区间(c,b)内

C.在区间(a,c)或(c,d)内 D.等于a+b2

[答案] D

3.已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的,x,f(x)对应值表如下:

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 12.04 13.89 -7.67 10.89 -34.76 -44.67

则函数y=f(x)存在零点的区间有()

A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4]

C.区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]和[4,5]和[5,6]

[答案] C

4.f(x)=x4-15,下列结论中正确的有()

①f(x)=0在(1,2)内有一实根;②f(x)=0在(-2,-1)内有一实根;③没有大于2的零点;④f(x)=0没有小于-2的根;⑤f(x)=0有四个实根.

A.2个 B.3个

C.4个 D.5个

[答案] C

[解析] ①②③④正确,⑤不正确.

5.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,将此区间分()次后,所得近似值的精确度可达到0.1()

A.2 B.3

C.4 D.5

[答案] D

[解析] 等分1次,区间长度为1,等分2次,区间长度变为0.5,…,等分4次,区间长度变为0.125,等分5次,区间长度为0.06250.1,符合题意,故选D.

6.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<(为精确度)时,函数零点近似值x0=a+b2与真实零点的误差最大不超过()

A.4 B.2

C. D.2

[答案] B

[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-a+b2=a+b2-a=b-a2=2,因此误差最大不超过2.

二、填空题

7.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:

f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)-0.984

f(1.375)-0.260 f(1.4375)0.162 f(1.46025)-0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________.

[答案] 1.4375(或1.375)

[解析] 由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.06250.1,故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解.

8.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是______________.

[答案] (2,2.5)

[解析] ∵f(2)0,f(2.5)0,下一个有根区间是(2,2.5).

9.用二分法求方程f(x)=0在[0,1]内的近似解时,经计算,f(0.625)0,f(0.75)0,f(0.687 5)0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1).

[答案] 0.75(答案不唯一)

[解析] 因为|0.75-0.6875|=0.06250.1,所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解.

三、解答题

10.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,求区间(0,0.1)等分的至少次数.

[解析] 依题意0.12n<0.01,得2n>10.故n的最小值为4.

11.利用二分法求3的一个近似值(精确度0.01).

[解析] 令f(x)=x2-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x0,即为3,取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:

(a,b) (a,b) 的中点 f(a) f(b) f(a+b2)

(1,2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)<0

(1.5,2) 1.75 f(1.5)<0 f(2)>0 f(1.75)>0

(1.5,1.75) 1.625 f(1.5)<0 f(1.75)>0 f(1.65)<0

(1.625,1.75) 1.6875 f(1.625)<0 f(1.75)>0 f(1.6875) <0

(1.6875,1.75) 1.71875 f(1.6875)<0 f(1.75)>0 f(1.71875) <0

(1.71875,1.75) 1.734375 f(1.71875)<0 f(1.75)>0 f(1.734375) >0

(1.71875,1.734375) 1.7265625 f(1.71875) <0 f(1.734375)>0 f(1.7265625) <0

 因为1.734375-1.7265625=0.0078125<0.01,所以可取1.734375为3的一个近似值.

12.方程x5+x-3=0有多少个实数解?你能证明自己的结论吗?如果方程有解,请求出它的近似解(精确到0.1).

[解析] 考查函数f(x)=x5+x-3,

∵f(1)=-10,f(2)=310,

函数f(x)=x5+x-3在区间(1,2)有一个零点x0.

∵函数f(x)=x5+x-3在(-,+)上是增函数(证明略),

方程x5+x-3=0在区间(1,2)内有唯一的实数解.

取区间(1,2)的 中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)6.090,x0(1,1.5).

同理,可得x0(1,1.25),x0(1.125,1.25),x0(1.125,1.1875),x0(1.125,1.156 25),

x0(1.125,1.1406 25).

由于|1.1406 25-1.125|0.1,此时区间(1.125,1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.

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