第二章 函数

训练9 函数与映射

基础巩固 站起来，拿得到！

1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )

答案：D

解析：由函数的定义可知.

2.若f(x)= ,则方程f(4x)=x的根是( )

A. B.- C.2 D.-2

答案：A

解析：由f(4x)=x,得 =x 4x2-4x+1=0 x= .

3.下列各组中的函数图象相同的是( )

A.f(x)=1,g(x)=x0 B.f(x)=1,g(x)=

C.f(x)= ,g(x)=(x+3)(x+3)0 D.f(x)=|x|,g(x)=

答案：C

解析：考查定义域与对应法则.

4.设M={x|02},N={y|02},给出下列四个图形,其中能表示集合M到集合N的函数关系的有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案：C

解析：由图象及函数的定义域与值域可知②③正确.

5.如果映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,那么X与A的关系是_______________;Y与B的关系是__________________.

答案：X=A Y B

解析：由函数定义易知.

6.设函数f(x)= 若f(x)=3,则x=_______________.

答案：

解析：分别讨论

7.在下列各个条件下求f(x):

(1)f(2x+1)=x2-3x+1;

(2)f( )= ;

(3)f(x+ )=x2+ .

解：(1)设2x+1=t,则x= .

f(t)=f(2x+1)=x2-3x+1=( )2-3 +1= -2t+ .

f(x)= -2x+ .

(2)设t= 0,则x= .

f(t)= .

f(x)= (xR且x1).

(3)∵f(x+ )=x2+ =(x+ )2-2,

f(x)=x2-2,x(-,-2)［2,+］.

能力提升 踮起脚,抓得住!

8.下面三个对应(Z为整数集);(1)Z中的元素x与2x对应;(2)Z中的元素x与 对应;(3)Z中的元素x与x2-1对应,其中Z到Z的映射有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案：C

解析：根据A中元素任意性,B中元素唯一性知(1)(3)对.

9.确定函数y=x2+1的对应关系是( )

A.f:RR B.f:(0,+)(0,+)

C.f:R(0,+) D.f:R［1,+)

答案：D

解析：函数y=x2+1的定义域是R,对任意的xR,有y=x2+11,即y［1,+).

10.设A到B的映射f1:x2x+1,B到C的映射f2:yy2-1,则A到C的映射f3是____________.

答案：z4z2+4z

解析：x2x+1,(2x+1)2-1=4x2+4x,即z4z2+4z.

11.下列对应:

(1)A=R+,B=R,对应法则是“求平方根”.

(2)A={x|-33},B={y|01},对应法则是“平方除以9”.

(3)A={x|xN*},B={-1,1},对应法则f:xy=(-1)x(xA,yB).

(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆内接矩形”.

(5)A=R,B=R+,f:xy=x2-1.

其中,是A到B的映射有_________________.(将是映射的序号全部填上)

答案：(2)(3)

解析：映射是一类特殊的对应,可一对一或多对一的对应,但不能是一对多的对应.

12.已知函数f(x)= (a、b为常数,a0)满足f(2)=1,f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式和f［f(-3)］的值.

解：∵f(2)=1,1= ,即2a+b=2. ①

又∵f(x)=x有唯一解,即 =x有唯一解,x =0.

解之,得x1=0,x2= ,

∵有唯一的解,x1=x2=0,得b=1. ②

由①②得a= ,b=1.

f(x)= .

故f［f(-3)］=f( )=f(6)= .

13.已知函数f(x)、g(x)同时满足条件:对一切实数x、y都有g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(-1) =-1,f(0)=0,f(1)=1.试求g(0),g(1),g(2)的值.

解：由g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)知,

g(x)=g(x-0)=g(x)g(0)+f(x)f(0),又f(0)=0,

故g(x)=g(x)g(0) g(0)=1〔g(x)不恒为零,否则g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=0 f(1)=0与f(1)=1矛盾〕.

又g(-x)=g(0-x)=g(0)g(x)+f(0)f(x)=g(x) g(-1)=g(1),

又g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=1 g(1)=0〔f(1)=1〕,则g(-1)=g(1)=0.

g(2)=g［1-(-1)］=g(1)g(-1)+f(1)f(-1)=-1.

拓展应用 跳一跳,够得着!

14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)(a、bR)且f(x)0,若f(1)= ,则f(-2)等于( )

A.2 B.4 C. D.

答案：B

解析：由f(a+b)=f(a)f(b),知f(0+0)=f2(0) f(0)=1(f(x)0),

又f(2)=f(1+1)=f2(1)= ,

f(2-2)=f(2)f(-2)=f(0)=1 f(-2)= =4.

15.设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:AB满足f(a)=f(b)+f(c),则映射f:AB的个数有_______个.

答案：7

解析：(1)当A中元素都对应0时,满足f(a)=f(b)+f(c),有一种映射.

(2)当A中元素对应B中的两个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有四种映射:1=1+0,1=0+1,

-1=-1+0,-1=0+(-1).

(3)当A中元素对应B中三个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有两种映射:0=1+(-1),0=(-1)+1.

满足条件的映射共有7个.

16.如图所示,等腰梯形的两底分别为AD=2a,BC=a,BAD=45,直线MNAD,交AD于M,交折线ABCD于N,设AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示成x的函数,并求此函数的定义域.

解：过B、C分别作边AD的垂线,垂足分别为H和G,则AH= ,AG= a,当M位于H左侧

时,AM=x,MN=x.故y=S△AMN= x2(0

当M位于H、G之间时,y=S梯形ABNM= (AM+BN)MN= (x+x- ) = ax- a2(

当M位于G、D之间时,y=S梯形ABCD-S△DMN= - (2a-x)2=- x2+2ax- a2( 2a).

故y=