训练21 对数函数的性质的应用

基础巩固 站起来，拿得到！

1.已知f(x)= (2x+1)在(- ,0)内恒有f(x)0,则a的取值范围是( )

A.a B.01 C.a-1或a D.- -1或1

答案：D

解析：∵- 0,01.

要使x(- ,0)时,f(x)0,则01,

即12,

- -1或1 .

2.设函数f(x)=logax(a1)满足f(9)=2,则f-1(log92)的值是( )

A.log3 B.

C. D.2

答案：C

解析：f(9)=2 loga9=2,a=3.

令logax=log92,则x= .

3.已知f(x5)=lgx,则f(2)等于( )

A.lg2 B.lg32 C.lg D. lg2

答案：D

解析：令t=x5,则x= ,由f(x5)=lgx,

有f(t)=lg = lgt,

f(2)= lg2.

4.不等式loga(x2-2x+3)-1在xR上恒成立,则a的取值范围是( )

A.［2,+) B.(1,2]

C.［ ,1) D.(0, )

答案：C

解析：x2-2x+3=(x-1)2+22.

又loga(x2-2x+3)-1,

01且 x2-2x+3对xR恒?成立.?

1.

5.函数y=logax的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位后所得图象过点(2,2),则a=___________.

答案：3

解析：依题意知y=loga(x+1)+1过点(2,2),

2=loga3+1,

即loga3=1.a=3.

6.设函数f(x)= 则满足f(x)= 的x值为_________________.

答案：3

解析：当x1时,2-x=( )x .

当x1时,log81x0,

所以log81x= ,x= =3.

7.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a1).

(1)求f(x)的定义域;

(2)当x为何值时,函数值大于1;

(3)讨论f(x)的单调性;

(4)解方程f(2x)=f-1(x).

解：(1)∵a1,由ax-10,得x0.

f(x)的定义域为(0,+).

(2)由loga(ax-1)1,

故当a1时,xloga(a+1),

即当xloga(a+1)时,f(x)1.

(3)当a1时,f(x)在定义域(0,+)上单调递增.

(4)由y=loga(ax-1)(a1)得其反函数为f-1(x)=loga(ax+1).

loga(ax+1)=loga(a2x-1).

∵对数函数在整个定义域上是单调的,

有ax+1=a2x-1. (ax-2)(ax+1)=0.

ax=2,ax=-1(舍去).

x=loga2.

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8.下面结论中,不正确的是( )

A.若01,0n1,则一定有logamlogan0

B.函数y=3x与y=log3x的图象关于y=x对称

C.函数y=logax2与y=2logax表示同一函数

D.若a(0,1),则y=logax与y=ax在定义域内均为减函数

答案：C

解析：∵y=logax2=2loga|x|=

与y=2logax不表示同一函数.

注意:此题也可以从定义域或者图象等方面考虑两函数是否为同一函数.

9.函数y=log0.5(x2-3x+2)的递增区间是( )

A.(-,1) B.(2,+) C.(-, ) D.( ,+)

答案：A

解析：∵x2-3x+20,

x(-,1)(2,+).

根据复合函数的单调性可知,f(x)在(-,1)上是增函数,在(2,+)上是减函数.

10.若y=loga(x+1)(a0且a1)在(-1,0)上有f(x)0,则a的取值范围是_____________.

答案：a1

解析：∵x(-1,0］,

x+1(0,1］,

即y=loga(x+1)在x+1(0,1)上f(x)0.

a1.

11.函数y=( x)2- +5在区间［2,4］上的最小值是_______________.

答案：

解析：y=( x)2- x+5.

令t= x(24),

则-1- 且y=t2-t+5.

当t=- 时,ymin= + +5= .

12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1),

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的范围;

(2)若f(x)的值域为R,求实数a的范围.

解：(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R,即 解得a1.

(2)若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取一切正数.

a=0或

解得01.

13.已知f(ex)=x2-2x+3,x［2,3］.

(1)求f(x)的解析式及定义域;

(2)求f(x)的最大值和最小值.

解：(1)设ex=t,则x=lnt,代入得

f(t)=ln2t-2lnt+3,

f(x)=ln2x-2lnx+3.

∵23,e2e3.

f(x)的定义域是［e2,e3］.

(2)∵f(x)=(lnx-1)2+2,在［e2,e3］上是增函数,

f(x)的最小值是f(e2)=3,

最大值是f(e3)=6.

拓展应用 跳一跳，够得着！

14.下列各函数中,在(0,2)上为增函数的是…( )

A.y= (x+1) B.y=log2

C.y=log3 D.y= (x2-4x+5)

答案：D

解析：设t=x2-4x+5=(x-2)2+1.

则y= t.

由函数t=x2-4x+5在(0,2)上递减,

函数y= (x2-4x+5)在(0,2)上递增,

15.已知函数y=loga(x-ka)+loga(x2-a2)的定义域为(a,+),则实数k的取值范围是____________.

答案：［-1,1］

解析：函数定义域由

得 即-11才使定义域为(a,+).

16.已知函数f(x)=loga|x|(a0,且a1),且f(x2+4x+8)).

(1)写出函数f(x)的单调区间,并加以证明;

(2)若方程4a-m2a+1+5=0有两个不相等的实根,求m的取值范围.

解：(1)由|x|0,知f(x)的定义域为(-,0)(0,+).

对定义域内的任一x,都有f(-x)=loga|-x|=loga|x|=f(x).

,-在定义域内.

f(-).

又x2+4x+8=(x+2)2+40,

且f(x2+4x+8))=f(),

则a1.KS%5U

函数f(x)在(0,+)上为增函数,在(-,0)上为减函数.

(2)令2a=t,因为a1,所以t2.则方程4a-m2a+1+5=0可化为g(t)=t2-2mt+5=0.

依题意t2-2mt+5=0有两个不等且大于2的实根,

则有(-2m)2-200,且 2.

又由g(2)0,解得 ,

即方程有两不等实根时, .