训练15 互为反函数的函数图象间的关系

基础巩固 站起来，拿得到！

1.点(3,5)在函数y=ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a、b的值分别为( )

A.a=-1,b=7 B.a=-1,b=-8 C.a=-1,b=8 D.以上都不对

答案：C

解析：由已知得点(3,5)和点(5,3)在直线y=ax+b上,

2.已知f(x)= 的图象关于直线y=x对称,则a的取值是( )

A.-1 B.1 C.-2 D.0

答案：A

解析：由y= ,得x= ,故f-1(x)= ,因函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与其反函数f-1(x)为同一函数,易得a=-1.

3.如图,设函数y=1- (-10),则函数y=f-1(x)的图象是图中的( )

答案：B

解析：易知点(- ,1- )在原函数图象上,故(1- ,- )在其反函数图象上,首先排除A、C,又1- ,故点(1- ,- )在直线x= 左边,排除D,选B.

4.(四川成都模拟)已知f(x)= ,且f-1(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则a的值为( )

A. B.2 C. D.3

答案：B

解析：f-1(x)= ,f-1(x-1)= ,其对称中心是(0,a+1),a+1=3 a=2.

5.已知函数f(x)存在反函数,若点(a,b)在f(x)的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的点是( )

A.(f-1(b),b) B.(a,f-1(a))

C.(f(a),f-1(b)) D.(f-1(b),f(a))

答案：C

解析：由(a,b)在y=f(x)图象上,则(b,a)在y=f-1(x)图象上,且b=f(a),则a=f-1(b).

6.设函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x)=(x-1)2(x1),则g(x)=____________.

答案：1- (x0)

解析：由已知得函数y=g(x)为y=f(x)的反函数,由y=(x-1)2(x1),得x=1- ,故g(x)=f-1(x)=1- (x0).

7.试求函数y=1+2x-x2(x1)和它的反函数的图象的交点.

解：由y=1+2x-x2(x1)求得其反函数为y=1+ (x2),

由

得1+2x-x2=1+ (12),

即2x-x2= ,

则x(2-x)= ,x( )2= ,

2-x=0或x =1.

x=2或x2(2-x)=1.

由x2(2-x)=1,得2x2-x3=1,

即(x2-1)+(x2-x3)=0,

(x-1)(x+1-x2)=0,

x=1或x= .

∵12,

x=2或x=1或x= .

y=f(x)和y=f-1(x)的交点有3个,分别是(1,2)、(2,1)、( , ).

能力提升 踮起脚,抓得住!

8.对于［0,1］上所有x的值,函数f(x)=x2与其反函数f-1(x)的相应函数值一定成立的关系式为( )

A.f(x)f-1(x) B.f(x)f-1(x)

C.f(x)f-1(x) D.f(x)=f-1(x)

答案：B

解析：结合f(x)与f-1(x)图象即得.

9.函数y=f(x)在［-1,2］上的图象如图所示,则f-1(x)x+1的解集为( )

A.［-1,0］ B.［0,1］

C.［-1,- ］ D.［-1,2］

答案：C

解析：由已知图象易得f(x)=

故f-1(x)=

(1)当01时,f-1(x)x+1 x-1x+ 1x .

(2)当-10时,f-1(x)x+1 -2xx+1 x- ,-1- .由(1)(2)知所求解集为［-1,- ］.

10.点P在f(x)=1+ 的图象上,又在其反函数的图象上,则P点的坐标为____________.

答案：(2,2)

解析：设点P的坐标为(a,b),

由已知 解得

11.函数y= (x-1)的图象与其反函数的图象的交点坐标为_________________.

答案：(0,0),(1,1)

解析：由y= ,得x= .

由x-1,得 1,即y2.

其反函数为f-1(x)= (x2).

由 得

12.已知函数f(x)= ,

(1)求反函数f-1(x);

(2)研究f-1(x)的单调性;

(3)在同一坐标系中,画出f(x)与f-1(x)的图象.

解：(1)∵f(x)= =y,

x+5=y2,且y0.

x=y2-5.

则f(x)= 的反函数为y=f-1(x)=x2-5(x0).

(2)由二次函数的图象知当x0时,f-1(x)为增函数.

(3)图象如图所示.

13.已知函数f(x)=2x2-4x+1,x［-1,0］.

(1)求f-1(x);

(2)作出y=f(x)和y=f-1(x)的图象,并判断其单调性;

(3)解不等式:f-1(7x)f-1(x+1).

解：(1)设y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,

2(x-1)2=y+1.

∵x［-1,0］,x-1［-2,-1］.

x-1=- .

f-1(x)=1- ,x［1,7］.

(2)y=f(x)和y=f-1(x)的图象见图.

∵y=f(x)在［-1,0］上是减函数,

y=f-1(x)在［1,7］上是减函数.

(3)由(2)知y=f-1(x)在［1,7］上是减函数,

∵f-1(7x)f-1(x+1),

7x+11.解得 1,

即原不等式的解集为{x| 1}.

拓展应用 跳一跳,够得着!

14.已知函数f(x)的图象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图象过点( )

A.(1,4) B.(4,1) C.(3,0) D.(0,3)

答案：A

解析：∵f(x)的图象过点(0,1),

f(0)=1,即f(4-4)=1.

f(4-x)图象过点(4,1).

f(4-x)的反函数图象过点(1,4).

15.设函数f(x)= ,已知函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称,则g(3)=______________.

答案：

解析：y=f-1(x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1,

故y=f-1(x+1)的反函数为g(x)=f(x)-1= ,则g(3)= .

16.已知函数f(x)= .

(1)证明函数f(x)在定义域上有反函数,并求出反函数;

(2)反函数的图象与直线y=x有无交点?

(1)证明:∵f(x)的定义域为正实数集,

当0x2时,f(x1)-f(x2)=( )-( )=( )(1+ )0.

f(x1)f(x2),即f(x)在(0,+)上是增函数.

f(x)有反函数.当x(0,+)时, (-,+).反函数的定义域为R.

由y= ,得x-y -1=0.

解得 = .∵y ,

y- 0.而 0,

= ,x= (y+ )2.

f-1(x)= (x+ )2(xR).

(2)解：y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称,故只需判断y=f(x)与y=x有无交点.

由 得x= .

x(1- )=1.

当01时,01.0x(1- )1,此时方程无实数根.

当x1时,x(1- )0,方程无实根.

y=f(x)与y=x无交点.

从而y=f-1(x)与y=x无交点.