训练13 函数的单调性的应用

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1.已知函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为直线x=3,则下列关系式中,不正确的是( )

A.f(6)f(4) B.f(2)f( )

C.f(3+ )=f(3- ) D.f(0)f(7)

答案：D

解析：依题意,函数y=ax2+bx+c在(-,3)内递增,在［3,+］内递减,故f(0)=f(6)f(7).

2.设f(x)为定义在A上的减函数,且f(x)0,则下列函数:(1)y=3-2 004f(x);(2)y=1+ ;

(3)y=f2(x);④y=2 005+f(x).其中为增函数的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案：B

解法一:令f(x)= (x0),则(1)y=3-2 004f(x)=3- ;(2)y=1+ =1+1 002x;

(3)y=f2(x)= ;(4)y=2 005+ 在(0,+)上为增函数的是(1)(2),故正确命题的个数为2.

解法二:利用单调函数的定义判断.

3.函数f(x)在定义域上单调递减，且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|2的自变量x的取值范围是( )

A.(-3,+) B.(-3,1) C.(-,1) D.(-,+)

答案：B

解析：|f(x)|f(x)2 f(1)f(-3),又f(x)单调递减,故-31.

4.已知函数f(x)=x2-6x+7的图象如图所示,下列四个命题中正确的命题个数为( )

(1)函数在(-,1］上单调递减

(2)函数的单调递减区间为(-,1］ (3)函数在［3,4］上单调递增 (4)函数的单调递增区间为［3,4］

A.1 B.2 C.3 D.4

答案：B

解析：由图形知(1)(3)正确;函数的单调递增区间为［3,+),递减区间为(-,3],故(2)(3)错误.

5.若函数f(x)=ax2+2x+5在(2,+)上是单调递减的,则a的取值范围是______________.

答案：a-

解析：若a=0,则f(x)=2x+5,与已知矛盾,a0.

这时,f(x)=ax2+2x+5=a(x+ )2+5- ,对称轴为x=- ,由题设知 ,解得a- .

6.已知f(x)在R上满足f(-x)+f(x)=0,且在［0,+］上为增函数,若f( )=1,则-1f(2x+1)0的解集为__________________.

答案：(- ,- ]

解析：由f(-x)+f(x)=0 f(0)=0,

f(- )=-1,故由-1f(2x+1)0 f(- )f(2x+1)f(0),可证f(x)在R上为增函数,故- 0 - - .

7.已知f(x)是定义在(0,+)上的增函数,且f( )=f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式f(x)-f( )2.

解：2=f(2)+f(2),而f( )=f(x)-f(y)可以变形为f(y)+f( )=f(x).

令y=2, =2,即x=2y=4,

则有f(2)+f(2)=f(4),2=f(4).

f(x)-f( )2可以变形为f［x(x-3)］f(4).

又∵f(x)是定义在(0,+)上的增函数,

解得34.

原不等式的解集为{x|34}.

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8.函数y=-|x-1|(x+5)的单调增区间为( )

A.(-,-2] B.［-2,+) C.［-2,1) D.［1,+)

答案：C

解析：y=-|x-1|(x+5)= 由图形易知选C.

9.已知函数f(x)在定义域［a,b］上是单调函数,函数值域为［-3,5］,则以下说法正确的是( )

A.若f(a)f(b)0,则存在x1［a,b］,使f(x1)=0

B.f(x)在区间［a,b］上有最大值f(b)=5

C.f(x)在区间［a,b］上有最小值f(a)=-3

D.f(x)在区间［a,b］上有最大值不是f(b),最小值也不是f(a)

答案：A

解析：若函数单调递增,则排除D,若函数单调递减,则排除B、C,由此知选A.

10.y=f(x)在［0,+］上为减函数,则f()、f(3)、f(4)?的大小关系为_______________.

答案：f(3))f(4)

解析：04,

且函数f(x)的减区间为［0,+］,f(3))f(4).

11.函数y=-x2-10x+11在区间［-1,2］上的最小值是________________.

答案：-13

解析：因为y=-x2-10x+11=-(x+5)2+36,根据二次函数的性质可知函数在［-1,2］上是减函数,故函数的最小值是f(2)=-22-102+11=-13.

12.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),求满足下列条件的实数a的取值范围:

(1)f(x)在定义域内单调递减;

(2)f(1-a)f(a2-1).

解：∵f(1-a)f(a2-1),

又f(x)在定义域(-1,1)内单调递减,则

或- 0 01.

故a的取值范围为{a|01}.

13.设函数y=f(x)(xR且x0)对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.

(1)求证:f(1)=f(-1)=0且f( )=-f(x)(x

(2)判断f(x)与f(-x)的关系;

(3)若f(x)在(0,+)上单调递增,解不等式f( )-f(2x-1)0.

(1)证明:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)?得f(1)=0.

再令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)得f(-1)=0.

对任意x0,有f(x)+f( )=f(1)=0,

f( )=-f(x).

(2)解：对任意xR且x0,有f(-x)+f(-1)=f(x),

f(-x)=f(x).

(3)解：∵f(x)在(0,+)上单调递增,则f(x)在(-,0)上单调递减,则f( )=-f(x),则-f(x)-f(2x-1)0 f(x)+f(2x-1)0,即f［x(2x-1)］|x(2x-1)|1,解得- 1且x .

拓展应用 跳一跳,够得着!

14.(四川成都模拟)已知f(x)是R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R上的( )

A.增函数 B.减函数

C.先减后增的函数 D.先增后减的函数

答案：B

解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数.

15.函数y=f(x)是定义在R上的减函数,则y=f(|x+2|)的单调减区间是____________________.

答案：［-2,+)

解析：∵y=f(u)在R上递减,

u=|x+2|在［-2,+)上递增,在(-,-2]上递减,

y=f(|x+2|)在［-2,+)上递减.

16.已知函数f(x)对任意x、yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0,f(1)=- .

(1)求证:f(x)是R上的减函数;

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

(1)证明:令x=y=0,f(0)=0,令y=-x可得f(-x)=-f(x).

在R上任取x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).

∵x1x2,

x1-x20.

又∵x0时f(x)0,

f(x1-x2)0,

即f(x1)-f(x2)0.

由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.

(2)解：∵f(x)在R上是减函数,

f(x)在［-3,3］上也是减函数.

f(-3)最大,f(3)最小.

f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3(- )=-2.

f(-3)=-f(3)=2,

即f(x)在［-3,3］上最大值为2,最小值为-2.