一、选择题

1．下列函数：①y＝3x2(xN＋)；②y＝5x(xN＋)；③y＝3x＋1(xN＋)；④y＝32x(xN＋)，其中正整数指数函数的个数为()

A．0B．1C．2D．3

【解析】　由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．

【答案】　B

2．函数f(x)＝(14)x，xN＋，则f(2)等于()

A．2 B．8

C．16 D.116

【解析】　∵f(x)＝(14x)xN＋，

f(2)＝(14)2＝116.

【答案】　D

3．(2013阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为()

A．y＝(－2)x B．y＝2x

C．y＝(12)x D．y＝(－12)x

【解析】　设y＝ax(a＞0且a1)，

由4＝a2得a＝2.

【答案】　B

4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是()

A．a B．－10

C．01 D．a－1

【解析】　∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，

0a＋11，

－10.

【答案】　B

5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为()

A．2 400元 B．2 700元

C．3 000元 D．3 600元

【解析】　1年后价格为

8 100(1－13)＝8 10023＝5 400(元)，

2年后价格为

5 400(1－13)＝5 40023＝3 600(元)，

3年后价格为

3 600(1－13)＝3 60023＝2 400(元)．

【答案】　A

二、填空题

6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)(15)x(xN＋)，则m＝______.

【解析】　由题意得m2＋m＋1＝1，

解得m＝0或m＝－1，

所以m的值是0或－1.

【答案】　0或－1

7．比较下列数值的大小：

(1)(2)3________(2)5；

(2)(23)2________(23)4.

【解析】　由正整数指数函数的单调性知，

(2)3(2)5，(23)2(23)4.

【答案】　(1)　(2)

8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．

【解析】　由题意知，下一年的垃圾量为a(1＋b)，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a(1＋b)8.

【答案】　a(1＋b)　a(1＋b)8

三、解答题

9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，xN＋是减函数，求实数m的值．

【解】　由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝13或m＝2，又f(x)是减函数，则01，所以m＝13.

10．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求f(5)；

(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．

【解】　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a0，a1，xN＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(xN＋)．

(2)f(5)＝35＝243.

(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，

f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．

11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．

(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；

(2)在坐标系中画出y＝f(t)(06)的图像；

(3)写出研究进行到n小时(n0，nZ)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．

【解】　(1)y＝f(t)的定义域为{t|t0}，值域为{y|y＝2m，mN＋)}；

(2)06时，f(t)为一分段函数，

y＝2，02，4，24，8，46.

图像如图所示．

(3)n为偶数且n0时，y＝2n2＋1；

n为奇数且n0时，y＝2n－12＋1.