第二章　解析几何初步

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013惠州高一检测)过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45，则m的值是()

A．－1　 B．3

C．1　 D．－3

【解析】　kAB＝m－4－2－m＝tan 45＝1，m＝1.

【答案】　C

2．若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是()

A．－1或2 B．－1

C．2 D．23

【解析】　由a(a－1)－12＝0得a＝－1或2，

经检验a＝－1时，两直线重合．

【答案】　C

3．(2013合肥高一检测)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是()

A．(－3，－1)(1,3) B．(－3,3)

C．[－1,1] D．(－3，－1][1,3)

【解析】　数形结合

∵(0,0)、(a、a)所在直线是存在两点的垂直平分线，

1＜a＜3或－3＜a＜－1.

【答案】　A

4．在空间直角坐标系Oxyz中，点M的坐标是(1,3,5)，则其关于x轴的对称点的坐标是()

A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)

C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)

【解析】　M(1,3,5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．

【答案】　C

5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是()

A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2

C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2

【解析】　圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，

圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.

【答案】　D

6．(2013南宁高一检测)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()

A.3 B．2

C.6 D．23

【解析】　由题意得直线方程为y＝3x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝23＋1＝1，弦长|AB|＝24－1＝23.

【答案】　D

7．(2013潍坊高一检测)若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则a的值是()

A．－3 B．1 C．－1 D．1或－3

【解析】　∵l1l2，a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.

【答案】　D

8．若点P(a，b，c)关于原点的对称点是P，则|PP|＝()

A.a2＋b2＋c2 B．2a2＋b2＋c2

C．|a＋3＋c| D．2|a＋b＋c|

【解析】　P(－a，－b，－c)．由两点间距离公式得

|PP|＝－a－a2＋－b－b2＋－c－c2

＝2a2＋b2＋c2.

【答案】　B

9．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】　由(a－3)x＋2ay＋6＝0，

得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0.

令x＋2y＝0，6－3x＝0，得x＝2，y＝－1，

直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．

【答案】　D

10．使得方程 16－x2－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围是()

A．－442 B．－4242

C．－44 D．442

【解析】　设f(x)＝16－x2，g(x)＝x＋m，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－442.

【答案】　A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与B的距离相等，则M的坐标是________．

【解析】　∵M在y轴上，设其坐标为(0，y,0)，由空间两点间的距离公式得

1＋y2＋4＝1＋y＋32＋1，得y＝－1，

M的坐标为(0，－1,0)．

【答案】　(0，－1,0)

12．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为________．

【解析】　点P在直线3x＋y－5＝0上，设P(x0，y0)，

即P(x0,5－3x0)．由点到直线的距离公式，得

|x0－5－3x0－1|12＋－12＝2，解得x0＝2或x0＝1，所以点P的坐标为(2，－1) 或(1,2)．

【答案】　(2，－1) 或(1,2)

13．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋ay－5＝0的距离等于__________．

【解析】　由3a－24＝0，得a＝8，

l2：3x＋4y－52＝0.

d＝|－52－－2|32＋42＝110.

【答案】　110

14．(2013九江高一检测)已知方程x2＋y2＋2mx－2my－2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A，若点A又在直线l：mx＋ny＋1＝0上，则m＋n＝________.

【解析】　已知方程即x2＋y2－2＋2m(x－y)＝0，该曲线系恒经过圆x2＋y2－2＝0与直线x－y＝0的交点，由x2＋y2－2＝0x－y＝0得所过定点为(－1，－1)，(1,1)，∵点A为第三象限的点，A点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l的方程得(－1)m＋(－1)n＋1＝0，即m＋n＝1.

【答案】　1

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(本小题12分)菱形ABCD中，A(－4,7)、C(6，－5)、BC边所在直线过点P(8，－1)，求：

(1)AD边所在直线的方程；

(2)对角线BD所在直线的方程．

【解】　(1)kBC＝2，∵AD∥BC，kAD＝2.

直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，

即2x－y＋15＝0.

(2)kAC＝－65，∵菱形对角线互相垂直，

BDAC，kBD＝56，

而AC中点(1,1)，也是BD的中点，

直线BD的方程为y－1＝56(x－1)，即5x－6y＋1＝0.

图1

16．(本小题12分)如图1所示，⊙O的方程为x2＋y2＝9，点P的坐标为(4,0)，求：

(1)以点P为圆心且与⊙O外切的圆的标准方程；

(2)以点P为圆心且与⊙O内切的圆的标准方程．

【解】　(1)满足条件的圆P是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．所以圆P的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.

(2)满足条件的圆P是以(4,0)为圆心，7为半径的圆，

所以圆P的标准方程为(x－4)2＋y2＝49.

17．(本小题12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值．

【解】　(1)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，

D＝－2，E＝－4，F＝m，

D2＋E2－4F＝20－4m＞0，m＜5.

(2)将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，y1＋y2＝165，y1y2＝8＋m5，∵OMON，得出：x1x2＋y1y2＝0，

5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，m＝85.w

18．(本小题14分)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．

(1)求四边形PACB面积的最小值；

(2)直线l上是否存在点P，使BPA＝60？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解】　(1)如图所示，△PAC≌△PBC，则有SPACB＝2S△PAC.圆心C(1,1)，半径r＝1.由切线性质得ACPA，则|PA|＝|PC|2－|AC|2，又|AC|＝1，

S△PAC＝12|AC||PA|＝12 |PC|2－1.

又P在直线l上，则|PC|的最小值是C到直线l的距离d＝|3＋4＋8|9＋16＝3.

S△PAC的最小值为1232－1＝2.

四边形PACB面积的最小值是22.

(2)假设直线l上存在点P满足题意．

∵APB＝60，|AP|＝3|AC|＝3，|PC|＝2.

设P(x，y)，则有x－12＋y－12＝4，3x＋4y＋8＝0，

整理可得25x2＋40x＋96＝0.

∵＝402－425960，

这样的点P是不存在的．