高二数学空间向量及运算人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

空间向量及运算

二. 教学目标：

1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

2. 了解空间向量基本定理。

3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。

三. 重点、难点：

重点：空间向量的基本定理，数量积。

难点：应用向量解决一些立体几何问题。

四. 重要知识点：

1. 共线向量定理：

2. 共面向量定理：

3. 空间向量基本定理：

4. 两空间向量的数量积：

性质：

运算律：

【典型例题】

例1. 判断题

解：（1）正确。

例2. 的值（x、y、zR）

同理可证B、C均为锐角。

△ABC为锐角三角形。

例7. 已知在平行六面体ABCDABCD中，AB=AD=3，AA=5，BAD=90，BAA=DAA=60。

（1）求证ACBD；

（2）AC的值。

证：

【模拟试题】

基础巩固题

1. 给出下列命题：

（1）a=“从南昌往正北平移6km”，b=“从北京往正北平移3km”，那么a=2b；

（2） ；

（3）把正方形ABCD平移向量m到 的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；

（4）有直线 ，且 ，在 上有点B，若 ，则 。

其中正确的命题是（ ）

A. （1）（2）

B. （3）（4）

C. （1）（2）（4）

D. （1）（2）（3）

2. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于 的表达式中错误的是（ ）

A.

B.

C.

D.

3. 以下四个命题正确的是（ ）

A. 若 ，则P、A、B三点共线

B. 若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底

C.

D. △ABC为直角三角形的充要条件是

4. 给出下列命题

（1）已知 ，则 ；

（2）A、B、M、N为空间四点，若 不构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；

（3）已知向量 ，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

（4）已知向量 是空间的一个基底，则基向量a和b可以与向量 构成空间另一个基底。

其中正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（ ）

A. B.

C. D.

6. 已知a，b是异面直线， ，且 ，CD=1，则a与b所成的角是（ ）

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

强化提高题

7. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且 ，N是 上一点且 ，P为 的中点，则 _______。

8. 长为4的向量a与单位向量e的夹角为 ，则向量a在向量e方向上的投影向量为___________。

9. 在空间平移正△ABC到△A1B1C1得到如图所示的几何体。若D是AC的中点。AA1平面ABC， ，则异面直线 与BD所成的角是__________。

10. 设OE是以OA，OB，OC为棱的平行六面体的对角线，OE交平面ABC于M，试用向量法证明M是△ABC的重心。

【试题答案】

基础巩固题

1. C 2. B 3. B 4. C 5. B

6. C

提示：

适合用直角坐标系求解。

强化提高题

7.

8.

9. 60

解1：设

解2：如图所示， 为所求。

10. 证明：设

取BC中点D，连DA，取

即M是△ABC重心，下面证M与M重合

故M是△ABC的重心。