高二数学空间两条直线人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

空间两条直线

目标：空间两条直线的位置关系；平行公理；等角定理，异面直线。

重点：平行公理、等角定理、异面直线。

难点：异面直线的判断及所成角。

知识点：

3. 等角定理：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，且方向相同，则这两个角的大小相等。

4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

5. 异面直线所成角：

过空间任意一点O，分别作异面直线a与b的平行线a、b，则a与b所成的锐角或直角叫做a与b的（夹角）所成角。

6. 异面直线所成角求法：

（1）作角：平移a或b，使a与b相交，得到所求角。

（2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。

注意：若cos0，则所求角为。

【典型例题】

例1. 在空间四边形ABCD的对角线BD上取两点M、N，分别过点M、N在两个平面内各作一条异于对角线BD的直线ME、NF。求证ME和NF是异面直线。

证法一：用判定定理证

证法二：反证法：

假设ME与NF不是异面直线，即N、F、M、E四点共面

这与E不在BD上矛盾。

ME与NF是异面直线。

例2. 在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、B1B的中点，求

（1）AM和CN所成角的大小；

（2）AM和BD所成角的大小；

（3）AM和BD1所成角的大小。

解：

设AB=4，则CNP为AM与CN所成角

（2）将BD平移至B1D1，再平移至MG（G为A1D1中点）

则AMG为AM与BD所成角。

（3）补形如下正方体BEFCB1E1F1C1

取B1E1中点H，则AM//BH

例3. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

（1）求证：EFGH是平行四边形。

（2）如果AC=BD，求证EFGH是菱形

（3）如果ACBD，求证EFGH是矩形。

证：

EFGH是平行四边形。

例4.

证：过a分别作平面、

例5. 若三个平面两两相交于三条直线，证明这三条直线交于一点或互相平行。

已知：

证明：b与c为共面直线

a、b、c相交于P点

【模拟试题】

一. 选择题

1. 若a、b为异面直线，直线c//a，则c与b的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 异面

C. 平行 D. 异面或相交

2. 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ）

A. 4个 B. 5个

C. 6个 D. 8个

3. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的对角线能与AB1成60角的异面直线的条数有（ ）

A. 2条 B. 4条

C. 5条 D. 6条

4. 在空间四点中，三点共线是四点共面的（ ）

A. 充分必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分非必要条件

D. 既非充分又非必要条件

5. 教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）

A. 平行 B. 垂直

C. 相交但不垂直 D. 异面

6. 如图所示，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

7. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，则（ ）

A. M一定在直线AC上

B. M一定在直线BD上

C. M可能在AC上，也可能在BD上

D. M不在AC上，也不在BD上

8. 如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

（1）AB与CD所在直线垂直；

（2）CD与EF所在直线平行；

（3）AB与MN所在直线成60角；

（4）MN与EF所在直线异面。

其中正确命题的序号是（ ）

二. 填空题

9. 若a、b、l是两两异面的直线，a与b所成的角是 ， 所成的角都是，则的取值范围是（ ）

10. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（ ）

三. 解答题

11. 空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点。求证：EF和AD为异面直线。

12. 已知：四边形ABCD中，AB//CD，AB、BC、DC、AD（或其延长线）分别与平面相交于E、F、G、H四点，求证：E、F、G、H四点共线。

13. △ABC是边长为2的正三角形，在△ABC所在平面外有一点P， ， ，延长BP至D，使 ，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小。

【试题答案】

一. 选择题

1. D 2. C 3. B 4. C

5. B 6. C 7. A 8. （3）（4）

二. 填空题

9.

10.

三. 解答题

11. 证明：反证若EF与AD共面

即ABCD共面，这与ABCD是空间四边形矛盾

EF与AD异面

12. 证明；

ABCD共面于

同理

13. 证明：