高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

二面角、两平面垂直的判定和性质

二. 重点、难点：

重点：

1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。

二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫直二面角。

2. 作二面角的平面角常有以下方法：

①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。

②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。

③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。

④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。

⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。

3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。

作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。

②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。

4. （1）两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。

（2）性质定理 如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。简言为：“面面垂直，则线面垂直”。

难点：

1. 二面角平面角的作法与计算。

2. 判定定理和性质定理的应用。

【典型例题】

例1. 如图。AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。

解：∵SA平面ABCD。

过SA的平面垂直于平面ABCD。

面SAB，面SAC，面SAD都与平面ABCD垂直。

又∵CDAD。

CDSD（三垂线定理）。CD面SAD。

经过CD的平面垂直于平面SAD。

面CDS，面ACD分别垂直于平面SAD。

同理，面CBA，面SBC分别垂直于平面SBA。但其中面SAD面ACD，面CAB面SAB。在第一种情况中已得到。

故共有五对平面互相垂直。

例2. 在四面体ABCD中，DA面ABC，ABC＝90。若

，求二面角 的正弦值。

证明：过点A作AECD于E，AFBD于F如图。

∵AD面ABC

ADBC 又∵ABC＝90。

BCAB BC面DAB。

DB是DC在面ABD内的射影。

∵AFDB AFCD（三垂线定理）。

又∵AECD CD平面AEF。

CDEF

∵CD面AEF

CD 面BCD 面AEF面BCD

由EFCD，AECD AEF为二面角B－DC－A的平面角

在 中

在

又∵AFDB，AFCD，BDCD＝D AF平面DBC，

例3. 在60的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。

分析：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面，分别交M、N于AQ、BQ。

同理，有PBa，

∵ PAPB＝P，

a垂直于面PAQB于Q

又 AQ、BQ 平面PAQB

AQa，BQa。

AQB是二面角M－a－N的平面角。

AQB＝60

连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有

PAQ＝PBQ＝90

P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中，∵ PA＝1，PB＝2，BPA＝180－60＝120，由余弦定理得

AB2＝1＋4－212cos120＝7

由正弦定理：

评注：本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。

例4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点。求截面MB1D与底面ABCD所成二面角的大小。

分析：如图。面MB1D与面ABCD只相交于点D，因此，要求二面角的大小，需先找或作出它的棱。由公理2及二面角棱的定义知，这条棱必过点D。只要再找出两个面的另一个交点即可。

解：∵M是A1A的中点，MAB1B是直角梯形。

延长其腰B1M与BA必相交于一点N。

∵MB1 面B1DM，NMB1。

N面B1DM。

同理：N面ABCD。

连结ND即为二面角的棱。

连结DB，∵NA＝BA＝AD，ADB＝ADN＝45。

BDN＝90。

BDND。

∵B1B平面ABCD。

NDB1D（三垂线定理）。

B1DB是所求二面角的平面角。

在Rt△B1DB中，

【疑难解析】

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形。

1. 定义用于证明两个平面垂直，即它们组成的二面角是直二面角，首先作出它的一个平面角，然后证出这个平面角是直角。

2. 判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。

3. 从两个平面垂直的判定定理和性质定理中，可看出平面与平面的垂直问题仍可转化为直线与平面的垂直问题．即从线面垂直可得出面面垂直。反之，由面面垂直又可得出线面垂直．所以两个平面垂直的性质定理1也可看作是直线与平面垂直的判定定理。

当面面垂直时，作辅助线一般作交线的垂线，当线面垂直时可利用三垂线定理求二面角、求线面角。

二面角的求法：

求解过程：1. 作出二面角 2. 认定（证明） 3. 计算 4. 结论

作二面角最重要的方法是应用三垂线定理或用定义。无论用三垂线定理还是用定义作二面角都是利用二面角所在的平面垂直棱这一性质，先找棱的一条垂线（或者作一垂线）进一步作出二面角。

【模拟试题】

1. 已知三棱锥SABC，ASB＝ASC＝45，BSC＝60，求证：侧面BSA侧面CSA。

2. 如图，PC平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。

3. 在60二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。

4. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1。（Ⅰ）求证：BE＝EB1；（Ⅱ）若AA1＝A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。

（Ⅰ）证明：在截面A1EC内，过E作EGA1C，G是垂足，

①∵_______________________EG侧面AC1；取AC的中点F，连结BF，FG，由AB＝BC得BFAC，

②∵____________________BF侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。

③∵___________________________BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE＝FG，

④∵_________________________________FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，

⑤∵_________________________

5. 拿一张边长为10cm的正三角形纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，如图所示。

（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（2）若二面角B－AD－C为直二面角，求B、C两点的距离；

（3）求AB与面BCD所成的角；

（4）若二面角B－AD－C的平面角为120，求二面角A－BC－D的余弦值；

（5）设二面角A－BC－D的大小为，试推导△ABC与△DBC面积关系式。

6. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G分别是AB、C1D1、B1C1的中点，求：（1）直线AB与平面A1ECF所成的角；（2）求平面AFG和平面AB1D1所成的角；（3）求二面角B1－A1C－C1。

【试题答案】

1. 分析：利用所成二面角是直二面角。

证明：过B作BDSA于D，过D在平面SAC内作EDSA交SC于E，连BE，BDE为二面角BASC的平面角

∵ASC＝ASB＝45 ED＝SD＝BD

设SD＝a，则SB＝SE＝ a

在BSE中BSE＝60BE＝ a

在BDE中

BDE＝90

二面角BASC为直二面角

侧面BSA侧面CSA

2. 分析：由PC平面ABC，知平面ABC平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解：∵PC平面ABC

平面PAC平面ABC，交线为AC作BDAC于D点，据面面垂直性质定理，得BD平面PAC。作DEPA于E，连BE，据三垂线定理，则BEPA，从而BED是二面角B－PA－C的平面角。

设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，

D是AC的中点，且

∵PC＝CA＝a，PCA＝90，PAC＝45

在Rt△DEA中，

则在 中，

评注：本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。

3. 分析：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面，分别交M、N于AQ、BQ。

同理，有PBa，

∵PAPB＝P， a面PAQB于Q

又 AQ、BQ 平面PAQB AQa，BQa．

AQB是二面角M－a－N的平面角． AQB＝60

连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有

PAQ＝PBQ＝90

P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中，∵ PA＝1，PB＝2，BPA＝180－60＝120，由余弦定理得

AB2＝1＋4－212cos120＝7

由正弦定理：

评注：本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。

4. 解：（I）①∵面A1EC侧面AC1，②∵面ABC侧面AC1，③∵BE∥侧面AC1，④∵BE∥AA1，⑤∵AF＝FC， ， ，

（II）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D。

∵CC1面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1A1C。

所以CA1C1所求二面角的平面角

∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，A1C1C＝90

CA1C1＝45，即所求二面角为45

5. 解：（1）二面角B－AD－C的面为：面ABD，面ACD．棱为：直线AD．

∵BDAD，CDAD，平面角为BDC．

（2）在△BCD中，由（1）知BDC是二面角B－AD－C的平面角

BDC＝90，又∵BD＝CD

（3）∵AD面BCD，

ABD为直线AB与面BCD所成的角．

∵△ABC为正三角形，

ABD＝60，即AB与面BCD成60角．

（4）当B－AD－C为120的二面角时，即BDC＝120，

取BC中点M，连结DM、AM，如图

∵BD＝DC，则DMBC．

∵AD面BCD，由三垂线定理，BCAM，

AMD是二面角A－BC－D的平面角．

在△BDC中，∵CDM＝60，

S△DBC、S△ABC、三者中任知两个数值便可求出第三个数值。其中S△DBC的面积可视为△ABC在面DBC上的射影面积。

6. 解：（1）正方体ABCD－A1B1C1D1中E、F分别是AB、C1D1中点

A1E＝EC＝CF＝FA1 A1F∥CE

A1ECF为菱形 EFA1C

设A1CEF＝O， O为A1C EF中点

∵B1E＝B1F 在△B1EF中，有B1OEF

又EFA1C EF平面A1B1C

又EF 平面A1ECF 平面A1ECF平面A1B1C

在平面A1B1C内作B1HA1C于H，则B1H平面A1ECF

∵A1B1∥AB

A1B1与平面A1ECF所成角等于AB与平面A1ECF所成角等于B1A1H

设正方体棱长为1，则A1C＝

B1H＝（1* ）/ ＝ （A1H＝ ＝ ）

sinB1A1H＝ B1A1H＝arcsin

即：AB与平面A1ECF所成角是arcsin

由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以，求直线和平面所成角时，关键是找出它在这个平面的射影。

（2）分析：由于平面AFG和平面AB1D1有一个公共点，所以交于过A点的一条直线。本题关键是作出交线，求交线的方法：

①是根据公理1和公理2找到两平面的另一个公共点。

②是根据线面平行的性质，证明交线于其以知直线平行。

此题后面比较简便。

解：∵F、G分别是D1C1和B1C1的中点

FG∥D1B1 FG∥平面AD1B1

设面AFG面AB1D1＝l FG∥l

连A1C1交B1D1和FG分别于M、N，

则M、N分别为B1D1和FG的中点。

∵AB1＝AD1 AMB1D1

∵AG＝AF （△AFD1 ≌ △AGB1） ANFG

∵B1D1∥FG∥l AMl ANl

MAN为所求的二面角的平面角，设为

∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1

AM＝ ＝ AN＝ ＝ MN＝

cos＝ ＝ ＝ ＝arccos

即平面AFG和平面AB1D1所成的角是arccos

（3）解法（一）：连B1D1交A1C1于O1

∵CC1平面A1B1C1D1

CC1B1O1

又∵A1C1B1O1

B1O1平面A1CC1

作O1EA1C于E，连B1E，则B1EA1C

B1EO1为所求二面角B1－A1C－C1的平面角

在RT△B1O1E中，B1O1＝ ，B1E＝ （B1EA1C＝A1B1B1C）

sin＝ ＝ ； ＝60

解法（二）：利用异面直线两点间距离公式，

作B1EA1C于E，C1FA1C于F

则异面直线B1E和C1F所成角等于二面角B1－A1C－C1的平面角

∵B1E＝C1F＝ ，CF＝EF＝A1E＝ ，

B1C1＝1（注）

（注）Rt△A1C1C中，CC1 ＝FCA1C

CF＝ ＝

Rt△A1B1C中，A1B1 ＝A1EA1C

A1E＝ ＝ EF＝ － － ＝

B1C1 ＝B1E ＋C1F ＋EF －2B1EC1Fcos

cos＝ ＝ ＝60

解法（三）：利用射影面积公式 ＝SCOS

∵B1O1面A1CC1

△A1O1C为△A1B1C在面A1CC1上的射影

∵ ＝ ＝

＝ 1＝

cos＝

＝