高二数学双曲线苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

双曲线

二. 重点、难点：

重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．

难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．

三. 主要知识点

1、双曲线的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：

（1）距离之差的绝对值.

（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．

当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

2、标准方程的推导

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．

（2）点的集合

由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.

（3）代数方程

（4）化简方程 （其中c2＝a2+b2）

3、两种双曲线性质的比较

焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线

几何

条件 与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）

标准

方程 － ＝1（a0，b0）

－ ＝1（a0，b0）

图形

范围 |x|a |y|a

对称性 x轴，y轴，原点

顶点

坐标 （a，0） （0，a）

实轴

虚轴 x轴，实轴长2a

y轴，虚轴长2b y轴，实轴长2a

x轴，虚轴长2b

焦点

坐标 （c，0）c＝

（0，c）c＝

离心率

e＝ ， e 1

渐近线 y＝ x

y＝ x

4、方法小结　

（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

②已知渐近线的方程bxay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝（0），根据其他条件确定的值.若求得＞0，则焦点在x轴上，若求得＜0，则焦点在y轴上．

（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．

（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记AOB＝，则e＝ ＝ ．

（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C0，就是双曲线的方程．

（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是 ＝0，则可把双曲线方程表示为 － ＝（0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程．

【典型例题】

例1. 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线 － ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2 ）；

（2）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点（3 ，2）.

（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3， ）Q（ ，5）．

剖析：设双曲线方程为 － ＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.

解法一：（1）设双曲线的方程为 － ＝1，

由题意得

解得a2＝ ，b2＝4．

所以双曲线的方程为 － ＝1．

（2）设双曲线方程为 － ＝1.

由题意易求c＝2 ．

又双曲线过点（3 ，2），

－ ＝1.

又∵a2+b2＝（2 ）2，

a2＝12，b2＝8．

故所求双曲线的方程为 － ＝1．

解法二：（1）设所求双曲线方程为 － ＝（0），

将点（－3，2 ）代入得＝ ，

所以双曲线方程为 － ＝ ．

（2）设双曲线方程为 － ＝1，

将点（3 ，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为 － ＝1．

评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝（0）．与 － ＝1同焦点的可设为 － ＝1

（3）设双曲线方程为 （mn0）

将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9.

故所求方程为

说明：若设 － ＝1或 － ＝1两种情况求解，比较繁琐．

例2. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝ sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形．

解：根据正弦定理得c－b＝ a＝1

即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线

又c＝1，a＝ ，b＝c2－a2＝

故双曲线方程为 （x ）

例3. （2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．

剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.

解：设点P的坐标为（x，y），依题意得 ＝2，即y＝2x（x0）． ①

因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN|||MN|＝2．

∵||PM|－|PN||＝2|m|0，

01．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．

故 － ＝1． ②

将①代入②，并解得x2＝ ，∵1－m20，1－5m20．

解得0 ，即m的取值范围为（－ ，0）（0， ）．

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．

例4. （2003年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C： － ＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

解：类似的性质为若MN是双曲线 － ＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中 － ＝1．

又设点P的坐标为（x，y），

由kPM＝ ，kPN＝ ，得kPMkPN＝ ＝ ，

将y2＝ x2－b2，n2＝ m2－b2，代入得kPMkPN＝ ．

评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．

【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. 到两定点 、 的距离之差的绝对值等于6的点 的轨迹是 （ ）

A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线

2. 方程 表示双曲线，则 的取值范围是 （ ）

A. B. C. D. 或

3. 双曲线 的焦距是 （ ）

A. 4 B. C. 8 D. 与 有关

4.（2004年天津，4）设P是双曲线 － ＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于

A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9

5. （2005年春季北京，5）“ab0”是“曲线ax2+by2＝1为双曲线”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分又不必要条件

6. 焦点为 ，且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

A. B. C. D.

7. 若 ，双曲线 与双曲线 有 （ ）

A. 相同的虚轴 B. 相同的实轴 C. 相同的渐近线 D. 相同的焦点

8. 过双曲线 左焦点F1的弦AB长为6，则 （F2为右焦点）的周长是（ ）

A. 28 B. 22 C. 14 D. 12

9. 已知双曲线方程为 ，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有 （ ）

A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条

10. 给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③ ④ ，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是 （ ）

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线 － ＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．

12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－ ＝1有且只有一个公共点．

13. 直线 与双曲线 相交于 两点，则 ＝__________________．

14. 过点 且被点M平分的双曲线 的弦所在直线的方程为 ．

三、解答题（40分）

15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求F1PF2的大小．

16. （本题满分14分）、已知双曲线x2－ ＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．

【试题答案】

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 D D C C C B D A B D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. |PF2|＝17 12. 4 13. 14.

三、解答题（40分）

15. 解：（1）由16x2－9y2＝144得 － ＝1，…………2

a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），…………4

离心率e＝ ，…………6

渐近线方程为y＝ x.…………8

（2）||PF1|－|PF2||＝6，cosF1PF2＝ …………10

＝ ＝ ＝0. …………12

F1PF2＝90。…………14

16. （1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2＝k（x－1），…………2

代入双曲线方程得

（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）＝0. …………4

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有x1+x2＝－ ，…………6

由已知 ＝xP＝1，

＝2。解得k＝1。 …………8

又k＝1时，＝16＞0，从而直线AB方程为x－y+1＝0. …………10

（2）证明：按同样方法求得k＝2，…………12

而当k＝2时，＜0，所以这样的直线不存在. …………14

17. 解：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.

…………2

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）…………4

设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|＝3404＝1360…………6

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 上，

依题意得a＝680， c＝1020，…………8

：

…………10

用y＝－x代入上式，得 ，∵|PB||PA|，

，…………11

答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心 处. …………12