高二数学数系的扩充与复数的引入苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

数系的扩充与复数的引入

二. 本周教学目标：

1. 回顾数系的扩充过程，体会数的概念是逐步发展的，了解引入复数的必要性。

2. 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件。

3. 掌握复数代数形式的代数表示，能进行复数代数形式的四则运算。

4. 理解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

［知识要点］

一. 复数的定义

1. 复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

说明

（1）虚数单位 ：（1）它的平方等于－1，即 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

（2） 与－1的关系： 就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根，方程x2＝－1的另一个根是－ 。

（3） 的周期性： 4n＋1＝i， 4n＋2＝－1， 4n＋3＝－i， 4n＝1。

（4）复数的代数形式： 复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。

（5）复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、bR）是实数a；当b0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0。

（6）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C。

（7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，dR，那么a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d。

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。

二. 复数的四则运算

1. 复数z1与z2的加法法则：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。

复数的加法运算满足交换律： z1＋z2＝z2＋z1。

复数的加法运算满足结合律： （z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）。

2. 复数z1与z2的减法法则：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。

3. 乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a、b、c、dR）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

乘法运算律：

（1）z1（z2z3）＝（z1z2）z3

（2）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

（3）z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

4. 复数除法定义：满足（c＋di）（x＋yi）＝（a＋bi）的复数x＋yi（x，yR）叫复数a＋bi除以复数c＋di的商，记为：（a＋bi） （c＋di）或者

三. 复数的几何意义

复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、bR）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数 复平面内的点

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

【典型例题】

例1. 实数m取什么数值时，复数z＝m＋1＋（m－1）i是：

（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

分析：因为mR，所以m＋1，m－1都是实数，由复数z＝a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。

解：（1）当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数；

（2）当m－10，即m1时，复数z是虚数；

（3）当m＋1＝0，且m－10时，即m＝－1时，复数z 是纯虚数。

例2. 已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，yR，求x与y。

解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以x＝ ，y＝4

例3. 计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）

解：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）＝（5－2－3）＋（－6－1－4） i＝－11 i。

例4. 计算：（1－2i）＋（－2＋3i）＋（3－4i）＋（－4＋5i）＋…＋（－2002＋2003i）＋（2003－2004i）

解法一：原式＝（1－2＋3－4＋…－2002＋2003）＋（－2＋3－4＋5＋…＋2003－2004）i＝（2003－1001）＋（1001－2004）i＝1002－1003i。

解法二：∵（1－2i）＋（－2＋3i）＝－1＋i，

（3－4i）＋（－4＋5i）＝－1＋i，

……

（2001－2002i）＋（－2002＋2003）i＝－1＋i。

相加得（共有1001个式子）：

原式＝1001（－1＋i）＋（2003－2004i）

＝（2003－1001）＋（1001－2004）i＝1002－1003i

例5. 计算（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）

解：（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i） （－2＋i）＝ －20＋15i。

例6. 计算

解：

。

例7. 计算

解：

例8. 已知z是虚数，且z＋ 是实数，求证： 是纯虚数。

证明：设z＝a＋bi（a、bR且b0），于是

z＋ ＝a＋bi＋ ＝a＋bi＋ 。

∵z＋ R，b－ ＝0。

∵b0，a2＋b2＝1。

∵b0，a、bR， 是纯虚数。

【模拟试题】

1. 设集合C＝｛复数｝，A＝｛实数｝，B＝｛纯虚数｝，若全集S＝C，则下列结论正确的是（ ）

A. AB＝C B. A＝B C. A B＝ D. B B＝C

2. 复数（2x2＋5x＋2）＋（x2＋x－2）i为虚数，则实数x满足（ ）

A. x＝－ B. x＝－2或－ C. x－2 D. x1且x－2

3. 已知集合M＝｛1，2，（m2－3m－1）＋（m2－5m－6）i｝，集合P＝｛－1，3｝。MP＝｛3｝，则实数m的值为（ ）

A. －1 B. －1或4 C. 6 D. 6或－1

4. 设z＝3＋i，则 等于

A. 3＋i B. 3－i C. D.

5. 的值是

A. 0 B. i C. －i D. 1

6. 已知z1＝2－i，z2＝1＋3i，则复数 的虚部为

A. 1 B. －1 C. i D. －i

7. 计算（－ ＝____。

8. 计算：（2x＋3yi）－（3x－2yi）＋（y－2xi）－3xi＝________（x、yR）。

9. 计算（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－…－（2002－2003i）。

【试题答案】

1. D 2. D

3. 解析：由题设知3M，m2－3m－1＋（m2－5m－6）i＝3

， m＝－1，故选A。

4. D 5. A 6. A

7. －2 i 8. （y－x）＋5（y－x）i

9. 解：原式＝（1－2＋3－4＋…＋2001－2002）＋（－2＋3－4＋…－2002＋2003）i

＝－1001＋1001i