高二数学（理）利用导数求单调区间、极值人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

利用导数求单调区间、极值

二. 重点、难点：

1. 在某区间（ ）内，若 0那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，若 ，那么函数 在这个区间内单调递减。

2. ，在 ，则称 为 的极大值。

3. ， 在 ，则称 为 的极小值。

4. 极值是一个局部性质

5. 时， 是 为极值的既不充分也不必要条件。

【典型例题】

[例1] 求下列函数单调区间

（1）

解：

（2）

（3）

定义域为

（4）

解：

[例2] 求满足条件的 的取值范围。

（1） 为R上的增函数

解：

时， 也成立

（2） 为R上增函数 成立

成立

（3） 为R上增函数

[例3] 证明下面各不等式

（1）

证：① 令

在 任取

即：

② 令

在（0，+ ）上 任取

即

（2） 令

[例4] 求下列函数的极值。

（1）

解： x=1

[例5] 在x=1处取得极值10，求 。

解： 或 （舍）

[例6] 曲线 ，过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。

解：由已知

令

（－ ，－2）

－2 （－2，0）

－ 0 +

[例7] 已知 在区间[－1，1]上是增函数，求实数 的取值范围。

解： ∵ 在[－1，1]上是增函数

对 恒成立，即 对 恒成立

设 ，则 解得

[例8] 设 是R上的偶函数，（1）求 的值；（2）证明 在（0，+ ）上是增函数。

解：（1）依题意，对一切 ，有 ，即

即 ，所以对一切 恒成立

由于 不恒为0，所以 ，即 ，又因为 ，所以

（2）证明：由 ，得

当 时，有 ，此时 ，所以 在（0，+ ）内是增函数

[例9] 已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1， ）处的切线方程 ，（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间。

解：（1）由 的图象经过P（0，2），知 ，所以 ，

由在点M（ ）处的切线方程为

即 解得

故所求的解析式是

（2） 令 ，解得

当 或 时，

当 时，

故 在 内是增函数，在 内是减函数

在 内是增函数

[例10] 已知函数 是R上的奇函数，当 时， 取得极值－2。（1）求 的单调区间和极大值。（2）证明对任意 ，不等式 恒成立。

解：（1）由奇函数定义，应有 ，

即

因此

由条件 为 的极值，必有 ，故 ，解得

因此，

当 时， ，故 在单调区间 上是增函数

当 时， ，故 在单调区间（－1，1）上是减函数

当 时， ，故 在单调区间（1， ）上是增函数

所以 在 处取得极大值，极大值为

（2）解：由（1）知， 是减函数，且 在[－1，1]上的最大值 在[－1，1]上的最小值

所以对任意 ，恒有

【模拟试题】

1. 两曲线 与 相切于点（1，－1）处，则 值分别为（ ）

A. 0，2 B. 1，－3 C. －1，1 D. －1，－1

2. 设函数 ，则 （ ）

A. 在（－ ，+ ）单调增加

B. 在（－ ，+ ）单调减少

C. 在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加

D. 在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少

3. 当 时，有不等式（ ）

A.

B.

C. 当 时， ，当 时，

D. 当 时， ，当 时，

4. 若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ）

A. 极大值一定是最大值，极小值一定是最小值

B. 极大值必大于极小值

C. 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值

D. 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值

5. 设 在 可导，则 等于（ ）

A. B. C. D.

6. 下列求导运算正确的是（ ）

A. B.

C. D.

7. 函数 有极值的充要条件是（ ）

A. B. C. D.

8. 设 、 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 时，

，且 ，则不等式 的解集是（ ）

A. B.

C. D.

9. 设函数 的图象如图所示，且与 在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求 的值；（2）求函数的递减区间。

10. 是否存在这样的k值，使函数 在（1，2）上递减，在（2，－ ）上递增。

11. 设函数

（1）若导数 ；并证明 有两个不同的极值点 ；

（2）若不等式 成立，求 的取值范围。

12. 已知过函数 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。

（1）求 的值；

（2）求A的取值范围，使不等式 对于 恒成立。令 = ，是否存在一个实数 ，使得当 时， 有最大值1？

【试题答案】

1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. D 7. C 8. D

9. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点

，又图象与x轴相切于（0，0）点，

，得 ，

当 时， ，当 时，

当 时，函数有极小值－4 ，得

（2） ，解得

递减区间是（0，2）

10. 解析： ，由题意，当 时，

当 时， 由函数 的连续性可知

即 得 或

验证：当 时，

若 ， ，若 ，符合题意

当 时，

显然不合题意，综上所述，存在 ，满足题意

11. 解：（1）

令 得方程

因 ，故方程有两个不同实根

不妨设 ，由 可判断 的符号如下：

当 时， ；当 时， ；当 时，

因此 是极大值点， 是极小值点

（2）因 ，故得不等式

即

又由（1）知 代入前面不等式，两边除以 ，并化简得

解不等式得 或 （舍去）

因此，当 时，不等式 0成立

12. 解：（1） ，依题意得

，把B（1，b）代入得

（2）令 得 或

∵

要使 对于 恒成立，则 的最大值

（1）已知

∵

① 当 时， ，即 在 上为增函数

的最大值 ，得 （不合题意，舍去）

② 当 ， ，令 ，得

列表如下：

（0， ）

+ 0 －

极大值

在 处取最大值

③ 当 时， 在 上为减函数

在 上为增函数

存在一个 ，使 在 上有最大值1。