高二数学异面直线所成角及距离人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

异面直线所成角及距离

二. 重点、难点：

1. 异面直线所成角定义。

异面直线 、 ，过空间一点O作 、 ，直线 ， 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 和 所成的角。

2. 异面直线所成角的计算。

（1）平移其中一条或两条使其相交。

（2）连接端点，使角在一个三角形中。

（3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。

（4）若余弦值为负，则取其相反数。

3. 公垂线。

与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。

4. 两条直线垂直。

（1）相交垂直 （2）异面垂直

5.

6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。

【典型例题】

异面直线所成的角与距离：

[例1] 正方体 棱长为 ，对角线 长为 。

① 异面直线 与 所成的角。

② 异面直线 与 的距离。

③ 异面直线 与 所成的角。

④ 异面直线 与 所成的角。

⑤ M、N为 、 中点，MN与AC所成角。

⑥ H为BC中点， 与 所成角。

解：

① 与 所成锐角即为两条异面直线所成的角 。

② AB为两条异面直线的公垂线 距离为

③ 为等边三角形 成角为

④ 延长DC至E使CE=CD

中， ， ， 中，DE= ，AD=

AE ，由余弦定理

⑤ MN//BD 所成角为

⑥ F为AD中点， ， 中， ，

，

所成角为

[例2] 四面体ABCD，棱长均为 （正四面体）

① 求异面直线AD、BC的距离。

② 求AC、BD所成的角。

③ E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角。

解：

① E、F为BC、AD中点，连AE、DE、BF、CF

中， F为等腰 底边中点 EFAD

同上EFBC E、F为AD、BC公垂线

② H为CD中点

EH//BD EH= FH//AC 为两条异面直线AC、BD所成角

③ K为DE中点，连FK，FK//AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角

[例3] 正方体 中，E、F为AB、 中点，求 、 所成的角。

证：H在 上， M为 中点

HF与 所成角等于异面直线 、 所成的角

设棱长为

中， 、 所成角为

[例4] P为 所在平面外一点，E为PA中点，且 ， ， ， （ ）。求异面直线BE、PC的距离。

解：F为PC中点连EF

EF为PC、BE公垂线

BE、PC距离为

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. ， 、 与 、 均垂直，则 、 的关系为（ ）

A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均可能

2. 已知异面直线 、 成 角，P为空间一点，则过P且与 、 所成角均为 的直线有（ ）

A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 无数条

3. 空间直线 满足（1）与 异面；（2）与 成 角；（3）与 距离为10cm；则这样的 有（ ）

A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条

4. 、 为异面直线， 为 、 的公垂线， ， 与 、 的关系为（ ）

A. 均不相交 B. 与其中一条相交

C. 至少与一条相交 D. 至多与其中一条相交

5. 空间四边形ABCD棱长为 ，对角线也为 ，E为AD中点，AB与CE所成角为（ ）

A. B. C. D.

【试题答案】

1. D 2. B 3. D 4. D 5. C