高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

函数的单调性与函数的奇偶性

二. 教学目标：

（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题。

（2）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。

三. 教学重点：

函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。

四. 教学难点：

函数单调性与奇偶性的运用。

五. 知识归纳：

（一）概念

1. 函数单调性的定义：对于函数 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ，⑴若当 时，都有 ，则说 在这个区间上是增函数；⑵若当 时，都有 ，则说 在这个区间上是减函数.

2. 函数奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

3. 奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；

（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

4. 为偶函数 .

5. 若奇函数 的定义域包含 ，则 .

（二）主要方法：

1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2. 判断函数的单调性的方法有：

（1）用定义；

（2）用已知函数的单调性；

（3）利用函数的导数.

3. 注意函数单调性的应用；

4. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；

5. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， 。

7. 设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇.

【典型例题】

例1. 判断下列各函数的奇偶性：

（1） ；

（2） ；

（3） .

解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称

为非奇非偶函数。

（2）由 得定义域为

∵

为偶函数

（3）当 时， ，则 ，

当 时， ，则 ，

综上所述，对任意的 ，都有 ， 为奇函数.

例2. （1）求函数 的单调区间；

（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性.

解：（1）单调增区间为： 单调减区间为 ，

（2） ， ，

令 ，得 或 ，令 ， 或

单调增区间为 ；单调减区间为

例3. 已知函数 对一切 ，都有

（1）求证： 是奇函数；

（2）若 ，用 表示 。

解：（1）显然 的定义域是 ，它关于原点对称。在 中，

令 ，得 ，令 ，得

，

，即

是奇函数.

（2）由 ， 及 是奇函数，

得 。

例4. （1）已知 是 上的奇函数，且当 时， ，则 的解析式为 。

（2）（《高考 计划》考点3“智能训练第4题”）已知 是偶函数， ，当 时， 为增函数，若 ，且 ，则 （ ）

. .

. .

例5. 设 ， 是 上的偶函数。

（1）求 的值；

（2）证明 在 上为增函数。

解：（1）依题意，对一切 ，有

即

对一切 成立，则

∵ ， 。

（2）设 ，则

，

由

得 ，

即 ， 在 上为增函数。

例6. 已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意 都有 ，且当 时 。

（1）求证： 是偶函数；

（2） 在 上是增函数；

（3）解不等式 。

解：（1）令 ，得

，令 ，得 ，

是偶函数。

（2）设

则

∵ ， ，

即 ，

在 上是增函数。

（3） ，

∵ 是偶函数，不等式 可化为

又∵函数在 上是增函数

解得： ，

即不等式的解集为 。

例7. 函数 在 上是增函数，求 的取值范围。

分析：由函数 在 上是增函数可以得到两个信息：

①对任意的 总有 ；

②当 时， 恒成立。

解：∵函数 在 上是增函数

对任意的 有

即

得

即

∵ ， ，

∵ ，要使 恒成立，只要 ；

又∵函数 在 上是增函数， ，

即 ，综上 的取值范围为 .

另解：（用导数求解）令 ，函数 在 上是增函数

在 上是增函数， ，

，且 在 上恒成立，得 。

例8. 设 为实数，函数 ， 。

（1）讨论 的奇偶性；

（2）求 的最小值。

解：（1）当 时， ，此时 为偶函数；

当 时， ，

此时函数 既不是奇函数也不是偶函数.

（2）①当 时，函数 ，

若 ，则函数 在 上单调递减

函数 在 上的最小值为 ；

若 ，函数 在 上的最小值为 ，且 .

②当 时，函数 ，

若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ；

若 ，则函数 在 上单调递增

函数 在 上的最小值为

综上，当 时，函数 的最小值是 ，当 时，函数 的最小值是 ，当 ，函数 的最小值是 。

【模拟试题】

1. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 函数F(x)=(1+2/(2x-1))f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（ ）

A. 是偶函数 B. 是奇函数

C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 非奇非偶函数

3. 已知函数f(x)=x2+lg(x+ )，若f(a)=M，则f(-a)等于（ ）

A. M-2a2 B. 2a2-M C. 2M-a2 D. a2-2M

4. 若对正常数m和任意实数x，等式 成立，则下列说法正确的是（ ）

A. 函数 是周期函数，最小正周期为2m

B. 函数 是奇函数，但不是周期函数

C. 函数 是周期函数，最小正周期为4 m

D. 函数 是偶函数，但不是周期函数

5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在 上递减，那么一定有（ ）

A. B.

C. D.

6. 已知y=f(x)是偶函数，且在 上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是（ ）

A. B. C. D.

7. 函数y=loga|x+1|在(－1，0)上单调递减，则y在（－，－1）上是（ ）

A. 由负到正单调递增 B. 由正到负单调递减

C. 单调递减且恒为正数 D. 时增时减

8. 设函数f(x)= (a0)，求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+)上是单调函数。

9. 函数y= 的递减区间是

10. 函数y=lncos( )的递减区间是

11. 函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是

12. 设奇函数f(x)在[0，+）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f(kx)+f(x-x2-2)0恒成立，求实数k的取值范围。

13. 已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 是奇函数 又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 。

①证明： ；

②求 的解析式；

③求 在 上的解析式。

14. 甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元。

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

【试题答案】

1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A

8. 当a1时，f(x)递减；

当01时，存在两点x1=0，x2=2a/(1-a2) ，f(x1)=f(x2)=1，故无单调性。

9. （－，－3）

10. [6kp-3p/4，6kp+3p/4] kZ

11. （1，2）

12. －2 -12 -1

13. 解：∵ 是以 为周期的周期函数

，

又∵ 是奇函数， ，

②当 时，由题意可设 ，

由 得 ， ，

③∵ 是奇函数， ，

又知 在 上是一次函数

可设 ，而 ，

，当 时， ，

从而当 时， ，故 时，

当 时，有 ，

当 时， ，

14. 解：（1）由已知汽车从甲地到乙地所用时间为 全程运输成本为

故所求函数及其定义域为

（2）依题意S，a，b，v都是正数，故有

由于v v ＞0，v －v ＞0，并且

又S＞0，所以 即

则当v=c时，y取最小值