解析几何解答题

1、椭圆G： 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知

F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为

（1）求此时椭圆G的方程；

（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0， ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分

故该椭圆中 即椭圆方程可为 ………3分

设H（x,y）为椭圆上一点，则

…………… 4分

若 ，则 有最大值 …………………5分

由 （舍去）(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分

若 …………………7分

由 所求椭圆方程为 ………………… 8分

（1） 设 ，则由 两式相减得

……③又直线PQ直线m直线PQ方程为

将点Q（ ）代入上式得， ……④…………………11分

由③④得Q（ ）…………………12分

而Q点必在椭圆内部 ，

由此得 ,故当

时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分

2、已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，动直线 与圆 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 .

（Ⅰ）求 的取值范围，并求 的最小值；

（Ⅱ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，那么， 是定值吗？证明你的结论.

解：（Ⅰ） 与圆相切, ……①

由 ,得 ,

,

,故 的取值范围为 .

由于 ， 当 时， 取最小值 .6分

（Ⅱ）由已知可得 的坐标分别为 ，

，

，

由①，得 ， 为定值.12分

3、已知抛物线 的焦点为F，点 为直线 与抛物线 准线的交点，直线 与抛物线 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D．

（1）求抛物线 的方程。

（2）证明：点 在直线 上；

（3）设 ，求 的面积。．

解：（1）

设 ， ， ， 的方程为 ．

（2）将 代人 并整理得 ，

从而

直线 的方程为 ，

即 令

所以点 在直线 上

（3）由①知，

因为 ，

故 ，解得

所以 的方程为

又由①知 故

4、已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，点 （2，3）、 在该椭圆上，线段 的中点 在直线 上，且 三点不共线．

(I)求椭圆的方程及直线 的斜率；

(Ⅱ)求 面积的最大值．

解：（I）设椭圆的方程为 ，

则 ，得 ， .

所以椭圆的方程为 .…………………3分

设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)，

设 ，则由 ，得

,由 ，得 ，

，设

,易知 ，

由OT与OP斜率相等可得 ，即 ，

所以椭圆的方程为 ，直线AB的斜率为 .……………………6分

（II）设直线AB的方程为 ，即 ，

由

得 ，

， .………………8分

. ．

点P到直线AB的距离为 .

于是 的面积为

……………………10分

设 ， ，其中 .

在区间 内， ， 是减函数；在区间 内， ， 是增函数.所以 的最大值为 .于是 的最大值为18.…………………12分

5、设椭圆 的焦点分别为 、 ，直线 ：

交 轴于点 ，且 ．

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过 、 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 、 四点（如图所示），若四边形 的面积为 ，求 的直线方程．

解：（Ⅰ）由题意， -------1分

为 的中点------------2分

即：椭圆方程为 ------------3分

（Ⅱ）当直线 与 轴垂直时， ，此时 ，

四边形 的面积 不符合题意故舍掉；------------4分

同理当 与 轴垂直时，也有四边形 的面积 不符合题意故舍掉；------------5分

当直线 ， 均与 轴不垂直时，设 : ，

代入消去 得： ------------6分

设 ------------7分

所以 ，------------8分

所以 ，------------9分

同理 ------------11分

所以四边形的面积

由 ，------------12分

所以直线 或

或 或 ---------13分

6、已知抛物线P：x2=2py(p0)．

（Ⅰ）若抛物线上点 到焦点F的距离为 ．

（ⅰ）求抛物线 的方程；

（ⅱ）设抛物线 的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线 的切线，求此切线方程；

（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点 到焦点F的距离与到准线距离相等，即 到 的距离为3；

，解得 ．

抛物线 的方程为 ．4分

（ⅱ）抛物线焦点 ，抛物线准线与y轴交点为 ，

显然过点 的抛物线的切线斜率存在，设为 ，切线方程为 ．

由 ，消y得 ，6分

，解得 ．7分

切线方程为 ．8分

（Ⅱ）直线 的斜率显然存在，设 ： ，

设 ， ，

由 消y得 ．且 ．

， ；

∵ ，直线 ： ，

与 联立可得 ，同理得 ．10分

∵焦点 ，

， ，12分

以 为直径的圆过焦点 ．14分

7、在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 .

（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；

（Ⅱ）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否恒过一定点，并证明你的结论.

解：（I）由题意可得 ，2分

所以 ，即 4分

即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5分

（II）设直线 的方程为 , ，则 .

由 消 整理得 ，6分

则 ，即 .7分

.9分

直线

12分

即

所以，直线 恒过定点 .13分

8、已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，

求 面积的最大值．

解：（Ⅰ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，

所以 ，1分

又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ，2分

所以 ， .4分

所以 ，椭圆 的方程为 .5分

（Ⅱ）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 .

由 得 ，6分

设 ， ，因为 ，所以 ，7分

同理可得 ，8分

所以 ， ，10分

，12分

设 ，则 ，13分

当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 .14分

方法二：不妨设直线 的方程 .

由 消去 得 ，6分

设 ， ，

则有 ， .①7分

因为以 为直径的圆过点 ，所以 .

由 ，

得 .8分

将 代入上式，

得 .

将①代入上式，解得 或 （舍）.10分

所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点），

所以

.12分

设 ，

则 .

所以当 时， 取得最大值 .14分

9、过抛物线C: 上一点 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。

（1）求证：直线AB的斜率为定值；

（2）已知 两点均在抛物线 ： 上，若△ 的面积的最大值为6，求抛物线的方程。

解：（1）不妨设

…………………………………5分

（2）AB的直线方程为：

点M到AB的距离 。………………………………………7分

………9分

又由 且

………………………11分

设 为偶函数，故只需考虑 ，

所以 上递增，

当 时，

。故所求抛物线的方程为 ……………………13分

10、已知椭圆 的左焦点 是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线 交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为

（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线 轴时，求 的值；

（2）求 的值。

（Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率 ， ，所以 ，

故椭圆方程为 ，┄┄┄┄┄┄3分

则直线 ， ，

故 或 ，

当点 在 轴上方时， ，

所以 ，

当点 在 轴下方时，同理可求得 ，

综上， 为所求．┄┄┄┄┄┄6分

(Ⅱ)解：因为 ，所以 ， ，

椭圆方程为 , ,直线 ，

设 ，

由 消 得， ，

所以 ┄┄┄┄┄┄8分

故 ①

由 ，及 ，┄┄9分

得 ，

将①代入上式得 ，┄┄10分

注意到 ，得 ，┄┄11分

所以 为所求．┄┄┄┄┄┄12分

11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率为 ，其焦点在圆x2+y2=1上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使

．

(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

(ii)求OA2+OB2．

解：(1)依题意，得c=1．于是，a= ，b=1．…………………2分

所以所求椭圆的方程为 ．………………………………4分

(2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①， ②．

又设M(x，y)，因 ，故 ……7分

因M在椭圆上，故 ．

整理得 ．

将①②代入上式，并注意 ，得 ．

所以， 为定值．………………………………10分

(ii) ，故 ．

又 ，故 ．

所以，OA2+OB2= =3．………………………16分

12、已知圆 的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切。

（Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程；

（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点 ，使得 为钝角？若存在，求出 点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

解:（Ⅰ）设动圆P的半径为r,则

两式相加得|PM|+|PN|=4|MN|

由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为 ，实轴长为4的椭圆

其方程为 …………6分

（Ⅱ）假设存在，设 （x,y）.则因为 为钝角，所以

， ，

又因为 点在椭圆上，所以

联立两式得： 化简得： ，

解得： ，所以存在。……13分

13、已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，且满足 ．若点 满足 ．

(Ⅰ)求点 的轨迹 的方程；

(Ⅱ)设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于点 、 （ 为坐标原点），试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

解：(Ⅰ) 椭圆 右焦点 的坐标为 ，………(1分)

． ，

由 ，得 ．…………(2分)

设点 的坐标为 ，由 ，有 ，

代入 ，得 ．………(4分)

（Ⅱ）解法一：设直线 的方程为 ， 、 ，

则 ， ．…………(5分)

由 ，得 ，同理得 ．…………(7分)

， ，则 ．……(8分)

由 ，得 ， ．………(9分)

则 ．……………(11分)

因此， 的值是定值，且定值为 ．………(12分)

解法二：①当 时， 、 ，则 ， ．

由 得点 的坐标为 ，则 ．

由 得点 的坐标为 ，则 ．

．……………(6分)

②当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 、 ，同解法一，得 ．…(8分)

由 ，得 ， ．…………(9分)

则 ．…………(11分)

因此， 的值是定值，且定值为 ．…………(12分)

14、在平面直角坐标系 中，已知圆B： 与点 ，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）曲线C与 轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与 轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线 为常数，且 ）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为 ，求 的值（用 表示）。

解：(1)连接 ，由题意得， ， ，

所以 ，…………………………………………………2分

由椭圆定义得，点 的轨迹方程是 .……………………………4分

(2)设 ，则 ， 的斜率分别为 ，

则 ， ，……………………………………………6分

所以直线 的方程为 ，直线 的方程 ，8分

令 ，则 ，……………………10分

又因为 在椭圆 ，所以 ，

所以 ，其中 为常数.…14分