选修2-3 1.1.2 两个基本原理的应用

一、选择题

1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有()

A．4种　 B．5种　

C．6种　 D．7种

[答案]　A

[解析]　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．

2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()

A．4 B．24

C．43 D．34

[答案]　C

[解析]　依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是444＝43.故选C.

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有()

A．125个 B．15个

C．100个 D．10个

[答案]　C

[解析]　由题意可得a0，可分以下几类，

第一类：b＝0，c0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有44＝16个不同的函数；

第二类：c＝0，b0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有44＝16个不同的函数；

第三类：b0，c0，此时a，b，c都各有4种选择，共有444＝64个不同的函数；

第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．

由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C.

4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲 、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()

A．6种 B．12种

C．24种 D．30种

[答案]　C

[解析]　分步完成．首先甲 、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次由甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有432＝24种，故选C.

5．将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的地方服务，不同的分配方案有()

A．8 B．15

C．512 D．1024

[答案]　D

[解析]　由分步计数原理得44444＝1024，故选D.

6．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有()

A．6种 B．36种

C．63种 D．64种

[答案]　C

[解析]　每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，共有26－1＝63种．故选C.

7．如图，某段电路由五个电阻组成，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，该段电路就会不通，现在电路MN间没有电流通过，那么焊接点脱落的可能性共有()

A．14种 B．49种

C．16种 D．64种

[答案]　B

[解析]　支路A、B、C有23－1＝7种．支路D、E、F有23－1＝7种．共有77＝49种，故选B.

8．210所有正约数的个数共有()

A．12个 B．14个

C．16个 D．20个

[答案]　C

[解析]　由210＝2357知正约数的个数为2222＝16.选C.

9．某班2011年元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()

A．110 B．120

C．20 D．12

[答案]　A

[解析]　先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中有10种方法，再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中有11种插法．由乘法原理知有1011＝110种．

10．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()

A．6种 B．9种

C．11种 D．23种

[答案]　B

[解析]　解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类加法计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3＝9(种)分配方式．

解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分类乘法计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3311＝9(种)．

二、填空题

11．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立AB的映射的个数为________．

[答案]　8

[解析]　建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理，共有映射23＝8(个)．

12．设椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，m{1,2,3,4,5}，n{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________________．

[答案]　20

[解析]　曲线是焦点在y轴上的椭圆，nm.当m＝1时，n有6种取法，当m＝2时，n有5种取法……当m＝5时n有2种取法，这样的椭圆共有6＋5＋4＋3＋2＝20个．

13．已知m{3,4,5}，n{0,2,7,8}，r{1,8,9}，则方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2可以表示不同圆________个．

[答案]　36

[解析]　只有m、n、r都确定后，圆的方程才能确定，由分步乘法计数原理知共表示不同圆343＝36个．

14．某工程由下表所示工序组成，则工程所需总工时数为________天.

工序 a b c d e f

紧急工序 a，b c c d，e

工时数(天) 2 3 2 5 4 1

[答案]　11

[解析]　在完成某项工序时，必须先完成它的紧急工序且在紧急工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程所需总工时数为3＋2＋5＋1＝11(天 )．

三、解答题

15．有不同的数学书11本，不同的物理书8本，不同的化学书5本，从中取出不同学科的书2本，有多少种不同的取法？

[解析]　从这些书中取出不同学科的书2本，有三类办法：第一类办法是数学书、物理书各取1本；第二类办法是数学书、化学书各取1本；第三类办法是物理书、化学书各取1本，每类办法又可分成两步完成，即依次取出不是同一学科的书各1本，根据加法原理和乘法原理，得到不同的取法种数是118＋115＋85＝183(种)．

16．若直线方程Ax＋By＝0中的A、B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？

[解析]　分两类完成：

第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；

第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．

第1步，确定A的值，有4种不同的方法；

第2步，确定B的值，有3种不同的方法．

由分步乘法计数原理，共可确定43＝12条直线．

由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．

17．有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项．

(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？

(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？

[解析]　(1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个．

甲有6种不同的获奖情况．

(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有444＝64(种)．

18．用1、2、3、4四个数字排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．

(1)写出这个数列的第11项；

(2)这个数列共有多少项？

(3)若an＝341，求n.

[解析]　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133；

(2)这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，则共有444＝64项；

(3)比an＝341小的数有两类：①

1

2

②

3 1

3 2

3 3

.共有244＋134＝44项．

n＝44＋1＝45.