选修2-3 2.4 正态分布

一、选择题

1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是()

A．f(x)＝12e－(x－1)22

B．f(x)＝12e(x－2)222

C．f(x)＝12e－(x－)222

D．f(x)＝12e－(x－

[答案]　A

2．已知～N(0,62)，且P(－20)＝0.4，则P(2)等于()

A．0.1 B．0.2

C．0.6 D．0.8

[答案]　A

[解析]　由正态分布曲线的性质知P(02)＝0.4，P(－22)＝0.8，P(2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A.

3．若随机变量～N(2,100)，若落在区间(－，k)和(k，＋)内的概率是相等的，则k等于()

A．2 B．10

C.2 D．可以是任意实数

[答案]　A

[解析]　由于的取值落在(－，k)和(k，＋)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即＝k，而＝2.k＝2.

4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()

A．(90,110] B．(95,125]

C．(100,120] D．(105,115]

[答案]　C

[解析]　由于X～N(110,52)，＝110，＝5.

因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.

由于一共有60人参加考试，

成绩位于上述三个区间的人数分别是：

600.682641人，600.954457人，

600.997460人．

5．(2010山东理，5)已知随机变量服从正态分布N(0，2)，P(2)＝0.023，则P(－22)＝()

A．0.477 B．0.628

C．0.954 D．0.977

[答案]　C

[解析]　∵P(2)＝0.023，P(－2)＝0.023，

故P(－22)＝1－P(2)－P(－2)＝0.954.

6．以(x)表示标准正态总体在区间(－，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布(，2)，则概率P(||)等于()

A．＋)－－)

B．(1)－(－1)

C．1－

D．2＋)

[答案]　B

[解析]　设＝||，则P(||)＝P(|1)

＝(1)－(－1)．

[点评]　一般正态分布N(，2)向标准正态分布N(0,1)转化．

7．给出下列函数：①f(x)＝12e－(x＋)222；②f(x)＝12e－(x－)24；③f(x)＝12e－x24；④f(x)＝1e－(x－)2，其中(－，＋)，＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有()

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　C

[解析]　对于①，f(x)＝12e－(x＋)222.由于(－，＋)，所以－(－，＋)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若＝1，则应为f(x)＝12e－(x－)22.若＝2，则应为f(x)＝122e－(x－)24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当＝2，＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当＝22时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．

8．(2008安徽)设两个正态分布N(1，21)(0)和N(2，22)(0)的密度函数图象如图所示，则有()

A．2，2

B．2，2

C．2，2

D．2，2

[答案]　A

[解析]　根据正态分布的性质：对称轴方程x＝，表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.

二、填空题

9．正态变量的概率密度函数f(x)＝12e－(x－3)22，xR的图象关于直线________对称，f(x)的最大值为________．

[答案]　x＝3　12

10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

[答案]　1

[解析]　正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．

∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.

11．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为____________．

[答案]　0.8

[解析]　∵＝1，正态曲线关于直线x＝1对称．

在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．

12．(2010福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．

[答案]　(24.94,25.06)

[解析]　正态总体N(25,0.032)在区间(25－20.03，25＋20.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．

三、解答题

13．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142.求该正态分布的概率密度函数的解析式．

[解析]　由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y轴对称，即＝0.而正态密度函数的最大值是12，所以12＝124，因此＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)＝142e－x232，x(－，＋)．

14．(2010邯郸高二检测)设随机变量～N(2,9)，若P(c＋1)＝P(c－1)，求c的值．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

①～N(2,9)，②P(c＋1)＝P(c－1)．

解答本题可利用正态曲线的对称性来求解．

[解析]　由～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，

又P(c＋1)＝P(c－1)，

故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，

c＝2.

[点评]　解答此类问题要注意以下知识的应用：

(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；

(2)正态曲线关于直线x＝对称，从而在关于x＝对称的区间上概率相等．

(3)P(xa)＝1－P(xa)

P(x－a)＝P(x＋a)

若b，则P(xb)＝1－P(x＋b)2.

15．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？

[解析]　设该工厂工人的月收入为，则～N(500,202)，所以＝500，＝20，

所以月收入在区间(500－320,500＋320)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．

因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200(1－0.9974)＝12000.00263(人)．

16．已知某种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋)上是减函数，且f(80)＝182.

(1)求概率密度函数；

(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？

[解析]　(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得＝80.

12＝182，所以＝8.

故概率密度函数解析式是，(x)＝182e－(x－80)2128.

(2)尺寸在72mm～88mm之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.28%.