选修2-22.1.1第1课时归纳推理

一、选择题

1．关于归纳推理，下列说法正确的是()

A．归纳推理是一般到一般的推理

B．归纳推理是一般到个别的推理

C．归纳推理的结论一定是正确的

D．归纳推理的结论是或然性的

[答案]　D

[解析]　归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.

2．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆x2＋y2＝r2的面积r2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝ab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

[答案]　B

[解析]　由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.

3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()

A．28　

B．32

C．33

D．27

[答案]　B

[解析]　因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜测x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故应选B.

4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是()

A．2n－2－12

B．2n－2

C．2n－1＋1

D．2n＋1－4

[答案]　B

[解析]　∵a1＝0＝21－2，

a2＝2a1＋2＝2＝22－2，

a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，

a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，

……

猜想an＝2n－2.

故应选B.

5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()

A．a(1＋p)7

B．a(1＋p)8

C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]

D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]

[答案]　D

[解析]　到2006年5月10日存款及利息为a(1＋p)．

到2007年5月10日存款及利息为

a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]

到2008年5月10日存款及利息为

a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)

＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]

……

所以到2012年5月10日存款及利息为

a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]

＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)

＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．

故应选D.

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()

A.2(n＋1)2

B.2n(n＋1)

C.22n－1

D.22n－1

[答案]　B

[解析]　因为Sn＝n2an，a1＝1，

所以S2＝4a2＝a1＋a2a2＝13＝232，

S3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝a1＋a28＝16＝243，

S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4

a4＝a1＋a2＋a315＝110＝254.

所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选B.

7．n个连续自然数按规律排列下表：

根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()

A．

B．

C．

D．

[答案]　C

[解析]　观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为，故应选C.

8．(2010山东文，10)观察(x2)＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()

A．f(x)

B．－f(x)

C．g(x)

D．－g(x)

[答案]　D

[解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，

g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．

9．根据给出的数塔猜测1234569＋7等于()

19＋2＝11

129＋3＝111

1239＋4＝1111

12349＋5＝11111

123459＋6＝111111

…

A．1111110

B．1111111

C．1111112

D．1111113

[答案]　B

[解析]　根据规律应为7个1，故应选B.

10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，

试求第七个三角形数是()

A．27

B．28

C．29

D．30

[答案]　B

[解析]　观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，第七个三角形数为7(7＋1)2＝28.

二、填空题

11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．

[答案]　13,3n＋1

[解析]　第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．

12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．

[答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

[解析]　第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：

n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}

＝(2n－1)2，

即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.

13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．

[答案]　S＝4(n－1)(n2)

[解析]　每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S＝4(n－1)(n2)．

14．(2009浙江理，15)观察下列等式：

C15＋C55＝23－2，

C19＋C59＋C99＝27＋23，

C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，

C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，

……

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于nN*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.

[答案]　24n－1＋(－1)n22n－1

[解析]　本小题主要考查归纳推理的能力

等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.

三、解答题

15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C成立，

在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D成立，

在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？

[解析]　根据已知特殊的数值：9、162、253，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n－2)3)．

在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1Ann2(n－2)3)．

16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．

平面区域 顶点数 边数 区域数

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？

(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？

[解析]　各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：

平面区域 顶点数 边数 区域数 关系

(1) 3 3 2 3＋2－3＝2

(2) 8 12 6 8＋6－12＝2

(3) 6 9 5 6＋5－9＝2

(4) 10 15 7 10＋7－15＝2

结论 V E F V＋F－E＝2

推广 999 E 999 E＝999＋999－2

＝1996

其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝2.

故可猜想此平面图可能有1996条边．

17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．

[解析]　b1＝ar100＋a4p100a＋a4＝110045r＋15p，

b2＝ab1＋a4p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.

b3＝ab2＋a4p100a＋a4

＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，

归纳得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.

18．设f(n)＝n2＋n＋41，nN＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．

[解析]　f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，

f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，

f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，

f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，

f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.

由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．

即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．

但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．

所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．