选修2-21.3.1函数的单调性与导数

一、选择题

1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A．b2－4ac0 B．b0，c0

C．b＝0，c D．b2－3ac0

[答案]　D

[解析]　∵a0，f(x)为增函数，

f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，

＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.

2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()

A．(－，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用．

f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，

令f(x)0，解得x2，故选D.

3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()

A．[－1，＋) B．(－，2]

C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)

[答案]　B

[解析]　令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．

4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()

[答案]　C

[解析]　当01时xf(x)0

f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数

当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()

A.－，－2和0，2

B.－2，0和0，2

C.－，－2，

D.－2，0和

[答案]　A

[解析]　y＝xcosx，当－x2时，

cosx0，y＝xcosx0，

当02时，cosx0，y＝xcosx0.

6．下列命题成立的是()

A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0

B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在

D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．

7．(2007福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()

A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0

C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0.

8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()

A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)

C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，

f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，

又0＜a＜b，af(b)bf(a)．

9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()

A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)

C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，

故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.

10．(2010江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为

()

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.

二、填空题

11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

[答案]　b－1或b2

[解析]　若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，

由题意b＜－1或b＞2.

12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．

[答案]　a1

[解析]　由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．

设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0　(x＞1)，

g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，

g(x)＜g(1)，

∵g(1)＝1，

1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，

a1.

13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．

[答案]　(－，－1)

[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，

令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，

函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．

14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．

[答案]　[3，＋)

[解析]　y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，

即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.

三、解答题

15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a、b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

[解析]　(1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.

由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，

即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，

解得a＝1，b＝－3.

(2)由a＝1，b＝－3得

f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)

＝3(x＋1)(x－3)．

令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.

所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；

当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；

当x(－1,3)时，f(x)是减函数．

16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.

[证明]　设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，

则f(x)＝1－12cosx＞0，

f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．

而当x＝0时，f(x)＝0，

方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.

17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[分析]　可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[解析]　∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a＜0，b＜0.

由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.

令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.

当x－2b3a，0时，函数为增函数．

令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，

x＜－2b3a，或x＞0.

在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．

18．(2010新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.

(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；

(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．

[解析]　(1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，

f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.

故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．

令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.

若a1，则当x(0，＋)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.

当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.

综合得a的取值范围为(－，1]．