1．有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；② 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）

①② ①③ ②③ ①②③

2．下列命题正确的是（ ）

若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；

向量 共面就是它们所在的直线共面；

零向量没有确定的方向；

若 ，则存在唯一的实数 使得 ；

3．如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）

4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.

5．（1）已知两个非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）

A. ：| |= ：| |B.a1b1=a2b2=a3b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使 =k

（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6， ，则x+y的值是（）

A. －3或1　 B.3或－1　 C. －3　 D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)

B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)

C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)

D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)

例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设 = ， = ，（1）求 和 的夹角 ；（2）若向量k + 与k －2 互相垂直，求k的值.

7．（1）设向量 与 的夹角为 ， ， ，

则 　．

8．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + 4 。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

9．如图,直三棱柱 中, 求证:

10.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若 ， ， ，则 的值为（ ）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

13.已知a＝（ ， ），b＝（ ， ），a与b之间有关系式|ka+b|= |a-kb|，其中k＞0．

（1）用k表示a、b；

（2）求ab的最小值，并求此时，a与b的夹角 的大小．

由已知 ．

14.. 已知 , , , 。

（1）求 ；

（2）设BAC＝，且已知cos(+x)＝ ， ，求sinx

1．有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；② 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）

①② ①③ ②③ ①②③

解析：对于①“如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系

2．下列命题正确的是（ ）

若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；

向量 共面就是它们所在的直线共面；

零向量没有确定的方向；

若 ，则存在唯一的实数 使得 ；

解析：A中向量 为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证 不为零向量

答案C。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾

题型2：空间向量的基本运算

3．如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）

解析：显然 ；

答案为A。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力

4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.

解： ∥ ,,且 即

又 不共面,

点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标

5．（1）已知两个非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）

A. ：| |= ：| |B.a1b1=a2b2=a3b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使 =k

（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6， ，则x+y的值是（）

A. －3或1　 B.3或－1　 C. －3　 D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)

B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)

C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)

D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)

解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；

（2）A　点拨：由题知 或 ；

（3）A　点拨：由共面向量基本定理可得

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况

6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设 = ， = ，（1）求 和 的夹角 ；（2）若向量k + 与k －2 互相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)， = ， = ，

=(1，1，0)， =（－1，0，2）.

(1)cos = = － ，

和 的夹角为－ 。

(2)∵k + =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），

k －2 =（k+2，k，－4），且(k + )（k －2 ），

（k－1，k，2）（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。

则k=－ 或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（ + ）(k －2 )=k2 2－k －2 2=2k2+k－10=0，解得k=－ ，或k=2。

题型4：数量积

7．（1）设向量 与 的夹角为 ， ， ，

则 　．

.解：设向量 与 的夹角为 且 ，则 = .

（2）设空间两个不同的单位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求 ， 的大小(其中0＜ ， 。

解析

（2）解：(1)∵| |=| |=1，x +y =1，x =y =1.

又∵ 与 的夹角为 ， =| || |cos = = .

又∵ =x1+y1，x1+y1= 。

另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=( )2－1= .x1y1= 。

(2)cos ， = =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .x1，y1是方程x2－ x+ =0的解.

或 同理可得 或

∵ ， 或

cos ， + = + = .

∵0 ， ， ， = 。

评述：本题考查向量数量积的运算法则

题型5：空间向量的应用

8．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + 4 。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设 =( ， ， )， =(1，1，1)，

则| |=4，| |= .

∵ | || |，

= + + | || |=4 .

当 = = 时，即a=b=c= 时，取“=”号。

（2）解：W=Fs=(F1+F2+F3) =14。

点评：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，则由 | || |，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| || | 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量 ， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题

9．如图,直三棱柱 中, 求证:

证明：

同理

又

设 为 中点,则

又

点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件

10.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若 ， ， ，则 的值为（ ）

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

解析：取△ABC为正三角形易得 ＝3．选B．

评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．

11.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且 ，

＝ ＋ ，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

A． B． C． D．

如下图，设 ， ，则 ．

由平行四边形法则，知NP∥AB，所以 ＝ ，

同理可得 ．故 ，选B．

3. 是平面内不共线两向量，已知 ，若 三点共线，则 的值是

A．2 B． C． D．

A ，又A、B、D三点共线，则 .即 ， ，故选 .

【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法.

12、已知平面向量 =( ，1)， = ( )．

（1）求 ；

（2）设 ， （其中 ），若 ，试求函数关系式 并解不等式 ．（1） ；

（2）由 得， ，

所以 ；

变形得： ，解得 ．

13.已知a＝（ ， ），b＝（ ， ），a与b之间有关系式|ka+b|= |a-kb|，其中k＞0．

（1）用k表示a、b；

（2）求ab的最小值，并求此时，a与b的夹角 的大小．

由已知 ．

∵　 ，　 ．　 ．

∵　k＞0， ．

此时 ． ＝60．

14.. 已知 , , , 。

（1）求 ；

（2）设BAC＝，且已知cos(+x)＝ ， ，求sinx

解：（1）由已知

∵ CDAB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,

又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分

所以 ……6分

（2）在△ABC中， ……8分

而 如果 ，

则 ……10分