[例1] 对于 ， 2，求证： 。

证明：（1） ，左 右

（2）假设n=k时成立

即：

当 时，左=

右即 时成立

综上所述由（1）（2）对一切 ， 命题成立

[例2] 对于 ，求证： ，可被 整除。

证明：（1） ，左 成立

（2）假设n=k时成立即：

当 时，

时成立

综上所述由（1）（2）对一切

[例3] 求证： ， 可被17整除。

证明：（1）n=0，左=15+2=17成立

（2）假设n=k成立即 ，MN

当 时，

[例4]数列 满足 ， ，求 。

解： ，

推测

证明：（1）n=1成立

（2）假设n=k成立即

当 时，

成立综上所述对一切 ， 成立

[例5] （ 为常数），试判断 是否为数列 中的一项。

证明： 推测

（1） 成立

（2）假设n=k成立即 ， 时，

成立综上所述对一切 ， 成立

p不是 中的一项

[例6] 数列 满足 （1）求证： 对一切 成立；（2）令 ， ，试比较 与 大小关系。

（1）① 成立

② 假设n=k时成立，即

当n=k+1时，

时成立综上所述由①②对一切 ，

（2） ，

7. 函数 的最大值不大于 ，又 时， （1）求

（2）设 ， ，求证：

8． 为常数， 证明对任意

7. 证明： （1）n=1 成立

（2）假设 时成立即 ，当n=k+1时，

成立综上所述对一切 ，

8. 证明：（1）n=1， 成立

（2）假设n=k时成立即

当 时，

成立

综上所述对一切 命题成立