2016-10-26
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选修2-2 1.7 定积分的简单应用
一、选择题
1.如图所示,阴影部分的面积为()
A.abf(x)dx B.abg(x)dx
C.ab[f(x)-g(x)]dx D.ab[g(x)-f(x)]dx
[答案] C
[解析] 由题图易知,当x[a,b]时,f(x)g(x),所以阴影部分的面积为ab[f(x)-g(x)]dx.
2.如图所示,阴影部分的面积是()
A.23 B.2-3
C.323 D.353
[答案] C
[解析] S=1-3(3-x2-2x)dx
即F(x)=3x-13x3-x2,
则F(1)=3-1-13=53,
F(-3)=-9-9+9=-9.
S=F(1)-F(-3)=53+9=323.故应选C.
3.由曲线y=x2-1、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()
A.02(x2-1)dx
B.|02(x2-1)dx|
C.02|x2-1|dx
D.01(x2-1)dx+12(x2-1)dx
[答案] C
[解析] y=|x2-1|将x轴下方阴影反折到x轴上方,其定积分为正,故应选C.
4.设f(x)在[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成图形的面积为()
A.abf(x)dx B.|abf(x)dx|
C.ab|f(x)|dx D.以上都不对
[答案] C
[解析] 当f(x)在[a,b]上满足f(x)0时,abf(x)dx0,排除A;当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时,abf(x)dx是两面积之差,排除B;无论什么情况C对,故应选C.
5.曲线y=1-1681x2与x轴所围图形的面积是()
A.4 B.3
C.2 D.52
[答案] B
[解析] 曲线与x轴的交点为-94,0,94,0
故应选B.
6.一物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动,则它在t
=0s到t=3s时间段内的位移是
()
A.31m B.36m
C.38m D.40m
[答案] B
[解析] S=03(3t2+2t)dt=(t3+t2)30=33+32=36(m),故应选B.
7.(2010山东理,7)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为()
A.112 B.14
C.13 D.712
[答案] A
[解析] 由y=x2y=x3得交点为(0,0),(1,1).
S=01(x2-x3)dx=13x3-14x410=112.
8.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所做的功为()
A.8J B.10J
C.12J D.14J
[答案] D
[解析] 由变力做功公式有:W=13(4x-1)dx=(2x2-x)31=14(J),故应选D.
9.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=36t,那么从3小时到6小时期间内的产量为()
A.12 B.3-322
C.6+32 D.6-32
[答案] D
[解析] 3636tdt=66t63=6-32,故应选D.
10.过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a0)所围成的图形面积为92a3,则直线l的方程为()
A.y=ax B.y=ax
C.y=-ax D.y=-5ax
[答案] B
[解析] 设直线l的方程为y=kx,
由y=kxy=x2-2ax得交点坐标为(0,0),(2a+k,2ak+k2)
图形面积S=2a+k0[kx-(x2-2ax)]dx
=k+2a2x2-x332a+k0
=(k+2a)32-(2a+k)33=(2a+k)36=92a3
k=a,l的方程为y=ax,故应选B.
二、填空题
11.由曲线y2=2x,y=x-4所围图形的面积是________.
[答案] 18
[解析] 如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组y2=2xy=x-4得交点坐标为(2,-2),(8,4).
因此所求图形的面积S=4-2(y+4-y22)dy
取F(y)=12y2+4y-y36,则F(y)=y+4-y22,从而S=F(4)-F(-2)=18.
12.一物体沿直线以v=1+tm/s的速度运动,该物体运动开始后10s内所经过的路程是________.
13.由两条曲线y=x2,y=14x2与直线y=1围成平面区域的面积是________.
[答案] 43
[解析] 如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=x24交点B(2,1),由对称性可知面积S=2(01x2dx+12dx-0214x2dx)=43.
14.一变速运动物体的运动速度v(t)=2t (01)at (12)bt (2e)
则该物体在0e时间段内运动的路程为(速度单位:m/s,时间单位:s)______________________.
[答案] 9-8ln2+2ln2
[解析] ∵01时,v(t)=2t,v(1)=2;
又12时,v(t)=at,
v(1)=a=2,v(2)=a2=22=4;
又2e时,v(t)=bt,
v(2)=b2=4,b=8.
路程为S=012tdt+122tdt+2e8tdt=9-8ln2+2ln2 .
三、解答题
15.计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.
[解析] 由y=x+3y=x2-2x+3解得x=0及x=3.
从而所求图形的面积
S=03(x+3)dx-03(x2-2x+3)dx
=03[(x+3)-(x2-2x+3)]dx
=03(-x2+3x)dx
=-13x3+32x230=92.
16.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若直线x=-t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.
[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b,
又已知f(x)=2x+2,a=1,b=2,
f(x)=x2+2x+c.
又方程f(x)=0有两个相等实根.
判别式=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依题意有-1-t(x2+2x+1)dx=0-t(x2+2x+1)dx,
13x3+x2+x-t-1=13x3+x2+x0-t
即-13t3+t2-t+13=13t3-t2+t.
2t3-6t2+6t-1=0,
2(t-1)3=-1,t=1-132 .
17.A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C点的速度达24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:
(1)A、C间的距离;
(2)B、D间的距离;
(3)电车从A站到B站所需的时间.
[解析] (1)设A到C经过t1s,
由1.2t=24得t1=20(s),
所以AC=2001.2tdt=0.6t2200=240(m).
(2)设从DB经过t2s,
由24-1.2t2=0得t2=20(s),
所以DB=200(24-1.2t)dt=240(m).
(3)CD=7200-2240=6720(m).
从C到D的时间为t3=672024=280(s).
于是所求时间为20+280+20=320(s).
18.在曲线y=x2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112,试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线方程.
[解析] 如图所示,设切点A(x0,y0),由y=2x,过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x20.
令y=0得x=x02,即Cx02,0.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,
S=S曲边△AOB-S△ABC.
S曲边△AOB=x00x2dx=13x30,
S△ABC=12|BC||AB|
=12x0-x02x20=14x30,
即S=13x30-14x30=112x30=112.
所以x0=1,从而切点A(1,1),切线方程为y=2x-1.
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