选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念

一、选择题

1．函数在某一点的导数是()

A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

[答案]　C

[解析]　由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C.

2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()

A．6 B．18

C．54 D．81

[答案]　B

[解析]　∵s(t)＝3t2，t0＝3，

s＝s(t0＋t)－s(t0)＝3(3＋t)2－332

＝18t＋3(t)2st＝18＋3t.

当t0时，st18，故应选B.

3．y＝x2在x＝1处的导数为()

A．2x B．2

C．2＋x D．1

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝x2，x＝1，

y＝f(1＋x)2－f(1)＝(1＋x)2－1＝2x＋(x)2

yx＝2＋x

当x0时，yx2

f(1)＝2，故应选B.

4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为()

A．37 B．38

C．39 D．40

[答案]　D

[解析]　∵st＝4(5＋t)2－3－452＋3t＝40＋4t，

s(5)＝limt0 st＝limt0 (40＋4t)＝40.故应选D.

5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()

A．y＝f(x0＋x)－f(x0)叫做函数值的增量

B.yx＝f(x0＋x)－f(x0)x叫做函数在x0到x0＋x之间的平均变化率

C．f(x)在x0处的导数记为y

D．f(x)在x0处的导数记为f(x0)

[答案]　C

[解析]　由导数的定义可知C错误．故应选C.

6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y|x＝x0，即()

A．f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)

B．f(x0)＝limx0[f(x0＋x)－f(x0)]

C．f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)x

D．f(x0)＝limx0 f(x0＋x)－f(x0)x

[答案]　D

[解析]　由导数的定义知D正确．故应选D.

7．函数y＝ax2＋bx＋c(a0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于()

A．4a B．2a＋b

C．b D．4a＋b

[答案]　D

[解析]　∵yx＝a(2＋x)2＋b(2＋x)＋c－4a－2b－cx

＝4a＋b＋ax，

y|x＝2＝limx0 yx＝limx0 (4a＋b＋ax)＝4a＋b.故应选D.

8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()

A．圆 B．抛物线

C．椭圆 D．直线

[答案]　D

[解析]　当f(x)＝b时，f(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()

A．0 B．3

C．－2 D．3－2t

[答案]　B

[解析]　∵st＝3(0＋t)－(0＋t)2t＝3－t，

s(0)＝limt0 st＝3.故应选B.

10．设f(x)＝1x，则limxa f(x)－f(a)x－a等于()

A．－1a B.2a

C．－1a2 D.1a2

[答案]　C

[解析]　limxa f(x)－f(a)x－a＝limxa 1x－1ax－a

＝limxa a－x(x－a)xa＝－limxa 1ax＝－1a2.

二、填空题

11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则

limx0f(x0－x)－f(x0)x＝________；

limxx0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.

[答案]　－11，－112

[解析]　limx0 f(x0－x)－f(x0)x

＝－limx0 f(x0－x)－f(x0)－x＝－f(x0)＝－11；

limxx0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limx0 f(x0＋x)－f(x0)x

＝－12f(x0)＝－112.

12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．

[答案]　0

[解析]　∵y＝1＋x＋11＋x－1＋11

＝x－1＋1x＋1＝(x)2x＋1，

yx＝xx＋1.y|x＝1＝limx0 xx＋1＝0.

13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f(2)＝2，则a等于______．

[答案]　2

[解析]　∵yx＝a(2＋x)＋4－2a－4x＝a，

f(1)＝limx0 yx＝a.a＝2.

14．已知f(x0)＝limxx0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f(3)＝－2，则limx3 2x－3f(x)x－3的值是________．

[答案]　8

[解析]　limx3 2x－3f(x)x－3＝limx3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3

＝limx3 2x－3f(3)x－3＋limx3 3(f(3)－f(x))x－3.

由于f(3)＝2，上式可化为

limx3 2(x－3)x－3－3limx3 f(x)－f(3)x－3＝2－3(－2)＝8.

三、解答题

15．设f(x)＝x2，求f(x0)，f(－1)，f(2)．

[解析]　由导数定义有f(x0)

＝limx0 f(x0＋x)－f(x0)x

＝limx0 (x0＋x)2－x20x＝limx0 x(2x0＋x)x＝2x0，

16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.610－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

[解析]　位移公式为s＝12at2

∵s＝12a(t0＋t)2－12at20＝at0t＋12a(t)2

st＝at0＋12at，

limt0 st＝limt0 at0＋12at＝at0，

已知a＝5.0105m/s2，t0＝1.610－3s，

at0＝800m/s.

所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋x,4＋y)，求(1)yx　(2)f(1)．

[解析]　(1)yx＝f(1＋x)－f(1)x

＝(1＋x)2＋3－12－3x＝2＋x.

(2)f(1)＝limx0 f(1＋x)－f(1)x

＝limx0 (2＋x)＝2.

18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．

[解析]　f(x)＝x＋x2(x0)－x－x2　(x0)

y＝f(0＋x)－f(0)＝f(x)

＝x＋(x)2(0)－x－(x)2　(0)

limx0＋ yx＝limx0＋ (1＋x)＝1，

limx0－ yx＝limx0－ (－1－x)＝－1，

∵limx0－ ylimx0＋ yx，x0时，yx无极限．

函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)