选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数

一、选择题

1．下列结论不正确的是()

A．若y＝0，则y＝0

B．若y＝5x，则y＝5

C．若y＝x－1，则y＝－x－2

[答案]　D

2．若函数f(x)＝x，则f(1)等于()

A．0 B．－12

C．2 D.12

[答案]　D

[解析]　f(x)＝(x)＝12x，

所以f(1)＝121＝12，故应选D.

3．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是()

A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0

C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝14x2，

f(2)＝limx0 f(2＋x)－f(2)x＝limx0 1＋14x＝1.

切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.

4．已知f(x)＝x3，则f(2)＝()

A．0 B．3x2

C．8 D．12

[答案]　D

[解析]　f(2)＝limx0 (2＋x)3－23x

＝limx0 6x2＋12xx＝limx0 (6x＋12)＝12，故选D.

5．已知f(x)＝x，若f(－1)＝－2，则的值等于()

A．2 B．－2

C．3 D．－3

[答案]　A

[解析]　若＝2，则f(x)＝x2，

f(x)＝2x，f(－1)＝2(－1)＝－2适合条件．故应选A.

6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　D

[解析]　∵y＝x3＋x2－x－1

yx＝(1＋x)3＋(1＋x)2－(1＋x)－1x

＝4＋4x＋(x)2，

y|x＝1＝limx0 yx＝limx0[4＋4x＋(x)2]＝4.

故应选D.

7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为()

A．(－2，－8) B．(－1，－1)

C．(1,1) D.－12，－18

[答案]　C

[解析]　设点P的坐标为(x0，y0)，

∵y＝x2，y＝2x.k＝ ＝2x0＝2，

x0＝1，y0＝x20＝1，即P(1,1)，故应选C.

8．已知f(x)＝f(1)x2，则f(0)等于()

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝f(1)x2，f(x)＝2f(1)x，f(0)＝2f(1)0＝0.故应选A.

9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为()

A．y＝－x B．x＝0

C．y＝0 D．不存在

[答案]　B

[解析]　∵y＝3x

y＝3x＋x－3x

＝x＋x－x(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2

＝x(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2

yx＝1(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2

曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，

切线方程为x＝0.

10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是()

A.14433 B.14334

C.12334 D.13443

[答案]　A

[解析]　s＝4t＋t－4t＝t＋t－t4t＋t＋4t

＝t＋t－t(4t＋t＋4t)(t＋t＋t)

＝t(4t＋t＋4t)(t＋t＋t)

limt0 st＝124t2t＝144t3，

s(3)＝14433 .故应选A.

二、填空题

11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y＝1可以解释为________．

[答案]　某物体做瞬时速度为1的匀速运动

[解析]　由导数的物理意义可知：y＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是________．

[答案]　(2,4)

[解析]　设切点坐标为(x0，x20)，

因为y＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．

13．过抛物线y＝15x2上点A2，45的切线的斜率为______________．

[答案]　45

[解析]　∵y＝15x2，y＝25x

k＝252＝45.

14．(2010江苏，8)函数y＝x2(x0)的图像在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中kN*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

[答案]　21

[解析]　∵y＝2x，过点(ak，a2k)的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12，a3＝4，a5＝1，a1＋a3＋a5＝21.

三、解答题

15．过点P(－2,0)作曲线y＝x的切线，求切线方程．

[解析]　因为点P不在曲线y＝x上，

故设切点为Q(x0，x0)，∵y＝12x，

过点Q的切线斜率为：12x0＝x0x0＋2，x0＝2，

切线方程为：y－2＝122(x－2)，

即：x－22y＋2＝0.

16．质点的运动方程为s＝1t2，求质点在第几秒的速度为－264.

[解析]　∵s＝1t2，

s＝1(t＋t)2－1t2

＝t2－(t＋t)2t2(t＋t)2＝－2tt－(t)2t2(t＋t)2

limt0 st＝－2tt2t2＝－2t3.－2t3＝－264，t＝4.

即质点在第4秒的速度为－264.

17．已知曲线y＝1x.

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；

(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．

[解析]　∵y＝1x，y＝－1x2.

(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在P(1,1)点导数．

即k＝f(1)＝－1.

所以曲线在P(1,1)处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.

(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上．

则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，

那么该切线斜率为k＝f(a)＝－1a2.

则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①

将Q(1,0)坐标代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．

解得a＝12，代回方程①整理可得：

切线方程为y＝－4x＋4.

(3)设切点坐标为Aa，1a，则切线斜率为k＝－1a2＝－13，解得a＝3，那么A3，33，A－3，3－3.代入点斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．整理得切线方程为y＝－13x＋233或y＝－13x－233.

18．求曲线y＝1x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

[解析]　两曲线方程联立得y＝1x，y＝x2，解得x＝1y＝1.

y＝－1x2，k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，

两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．

S＝1212－12＝34.