选修2-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、选择题

1．(2010安徽理，1)i是虚数单位，i3＋3i＝()

A.14－312i　

B.14＋312i

C.12＋36i

D.12－36i

[答案]　B

[解析]　i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)

＝3＋3i12＝14＋312i，故选B.

2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案]　B

[解析]　考查复数的运算．

z＝－2＋i，对应点位于第二象限，

选B.

3．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()

A．2i

B．i

C．－i

D．－2i

[答案]　D

[解析]　本小题主要考查复数的运算．

设z＝bi(bR)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i，

b＋22＝0，b＝－2，

z＝－2i，故选D.

4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，bR)，则乘积ab的值是()

A．－15

B．－3

C．3

D．15

[答案]　B

[解析]　本题考查复数的概念及其简单运算．

1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，

a＝－1，b＝3，ab＝－3.

5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()

A．8

B．6

C．4

D．2

[答案]　C

[解析]　考查阅读理解能力和复数的概念与运算．

∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.

又使in＝1成立的最小正整数n＝4，a(i)＝4.

6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝()

A．2－i

B．2＋i

C．－2－i

D．－2＋i

[答案]　A

[解析]　考查复数的运算．

z＝－1＋2i，则5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)

＝10－5i5＝2－i.

7．设a，bR且b0，若复数(a＋bi)3是实数，则()

A．b2＝3a2

B．a2＝3b2

C．b2＝9a2

D．a2＝9b2

[答案]　A

[解析]　本小题主要考查复数的运算．

(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i

＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，

3a2b－b3＝0，3a2＝b2，故选A.

8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，zz＝8，则zz等于()

A．i

B．－i

C．1

D．i

[答案]　D

[解析]　本题主要考查复数的运算．

设z＝a＋bi(a，bR)，则z＝a－bi，

由z＋z＝4，z z＝8得2a＝4a2＋b2＝8a＝2b＝2

z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.zz＝i，故选D.

9．(2010新课标全国理，2)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝()

A.14　

B.12　

C．1

D．2

[答案]　A

[解析]　∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i

＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2(1＋3)

＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，z－＝3＋i－4，

zz－＝|z|2＝14，故选A.

10．定义运算a　bc　d＝ad－bc，则符合条件1　－1zzi＝4＋2i的复数z为()

A．3－i

B．1＋3i

C．3＋i

D．1－3i

[答案]　A

[解析]　由定义得1　－1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i

z＝4＋2i1＋i＝3－i.

故应选A.

二、填空题

11.1＋i1－i表示为a＋bi(a，bR)，则a＋b＝________.

[答案]　1

[解析]　本小题考查复数的除法运算．

∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，a＝0，b＝1.

因此a＋b＝1.

12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.

[答案]　1＋i

[解析]　本题主要考查复数的运算．

∵z＝i(2－z)，z＝2i1＋i＝1＋i.

13．关于x的不等式mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．

[答案]　二

[解析]　∵mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1，2)，m0(－1)＋2＝nm(－1)2＝pm，即m0，p0.

故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．

14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．

[答案]　83

[解析]　设z1z2＝bi(bR且b0)，z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.a＝4b2＝3ba＝83.

三、解答题

15．计算：

(1)－23＋i1＋23i＋21＋i2000＋1＋i3－i；

(2)1＋in＋i2n＋…＋i2000n(nN)．

[解析]　(1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i

＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i.

(2)当n＝4k(kN)时，原式＝1＋1＋…＋1 2001＝2001.

当n4k(kN)时，

原式＝1－i2001n1－in＝1－i2000nin1－in＝1－in1－in＝1.

16．已知复数z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，＝z＋ai(aR)，当2时，求a的取值范围．

[解析]　z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i

＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i

∵＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i

z＝1＋(a－1)i1－i＝[1＋(a－1)i](1＋i)2＝2－a＋ai2

z＝(2－a)2＋a222

a2－2a－20，1－31＋3

故a的取值范围是[1－3，1＋3]．

17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，cR)．

(1)求b，c的值；

(2)试证明1－i也是方程的根．

[解析]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根

(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0

即b＋c＋(2＋b)i＝0

b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2.

(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0

把1－i代入方程左边得

左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立

1－i也是方程的根．

18．已知＝z＋i(zC)，z－2z＋2是纯虚数，又|＋1|2＋|－1|2＝16，求.

[解析]　设z＝a＋bi(a，bR)

z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a＋2)2＋b2

由z－2z＋2是纯虚数得a2＋b2＝4b0　①

|＋1|2＋|－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2

＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2

＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2

＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2

＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，

b＝1，

将b＝1代入①得a＝3.

z＝3＋i，＝3＋2i.