高二数学北师大版必修5

第二章 第2-3节 三角形中的几何计算

解三角形的实际应用举例同步练习

（答题时间：70分钟）

一、选择题：

1. 在△ABC中，已知a=1，b= ，A=30，B为锐角，则角A，B，C的大小关系是（）

A. AC B. BC C. CA D. CB

*2. 在△ABC中，角A，B满足：sin =sin ，则三边a，b，c必满足（ ）

A. a=b B. a=b=c

C. a+b=2c D.

3. 如图，D，C，B三点在一条直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角是 ，（ ）则A点离地面的高度AB 等于（ ）

4. 在三角形ABC中，下列等式总能成立的是（ ）

A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA

*5. 某人向正东方向走x千米后，他向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为 千米，则x=（ ）

*6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60，塔底的俯角是 ，则这座塔高是（ ）

*7. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都是a km，灯塔A在观测站C的北偏东20，灯塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离是（ ）

8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+c－a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则三角形ABC是（ ）

A. 等腰三角形， B. 等边三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

二、填空题：

*9. 在三角形ABC中，a－b=4，a+c=2b，且最大角为120，则此三角形的周长是

**10. 在三角形ABC中，若C=3B，则 的取值范围是

*11. 在三角形ABC中，已知B=45，C=60， 则三角形的面积S=________

12. 海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望，C岛和B岛成60视角，从B岛望A岛和C岛成75视角，则B岛和C岛的距离是 海里

*13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，则三角形ABC的形状是

**14. 若等腰三角形的顶角是20，底边和一腰长分别是b，a，则下列结论不成立的是

（1） ，（3） （4）

三、计算题：

*15. 已知地面上有一旗杆OP，为了测得其高度h，地面上取一基线AB，AB=20米，在A处测得P点的仰角OAP=30，在B处测得P点的仰角OBP=45，又知AOB=60，求旗杆的高度h.

16. 已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？

**17. 在圆心角为60的扇形铁板OAB中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。

【试题答案】

一、选择题: C D A D C B B B

二、填空题：

9. 30 10.（1，3） 11. 12.

13. 直角三角形 14.（2）（3）（4）

三、计算题：

15.【分析】欲求旗杆的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解决即可。

解：AO=OPcot30= ，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得：

60

答：所求旗杆的高度是 。

16.【分析】要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断。

解：在三角形ABC中：BC=30，B=30，ACB=180－45=135，故A=

15

由正弦定理得：

故

于是A到BC的直线距离是Acsin45 =

，大于38海里。

答：继续向南航行无触礁的危险。

17. 【分析】要找出内接矩形的长宽与面积S的关系，可采用引入第三个变量 的办法，用 表示矩形的长宽x，y，这样矩形的面积可以表示成 的三角函数，通过 的变化情况，得出S的最大值。

解：如图，设PQ=x，MP=y，则矩形面积S=xy

连接ON，令AON= ，则y=Rsin

在三角形OMN中：由正弦定理得：

故当 =30时，矩形的面积最大，其最大值是 .