第二章 推理与证明综合检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；

直角三角形的面积等于底乘高的一半；

钝角三角形的面积等于底乘高的一半；

所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．

以上推理运用的推理规则是()

A．三段论推理　

B．假言推理

C．关系推理

D．完全归纳推理

[答案]　D

[解析]　所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．

2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是()

A.a1＝1，an＋1＝an＋n(nN*)

B.a1＝1，an＝an－1＋n(nN*，n2)

C.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(nN*)

D.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(nN*，n2)

[答案]　B

[解析]　记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n2时，an比an－1多n，可得递推关系a1＝1，an－an－1＝n(n2，nN*)．

3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为()

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．不是以上错误

[答案]　C

[解析]　大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.

4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(nN*)时，验证n＝1，左边应取的项是()

A．1

B．1＋2

C．1＋2＋3

D．1＋2＋3＋4

[答案]　D

[解析]　当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.

5．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则()

A．－1＜a＜1

B．0＜a＜2

C．－12＜a＜32

D．－32＜a＜12

[答案]　C

[解析]　类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)(x＋a)1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．

(x－a)(x＋a)(x－a)(1－x－a)1

即x2－x－a2＋a＋10

不等式恒成立的充要条件是

＝1－4(－a2＋a＋1)0

即4a2－4a－30

解得－1232.故应选C.

6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14

[答案]　D

[解析]　项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.

7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()

A．大于0

B．小于0

C．不小于0

D．不大于0

[答案]　D

[解析]　解法1：∵a＋b＋c＝0，

a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，

ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c220.

解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.

8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()

A．a＞b

B．a＜b

C．a＝b

D．a、b大小不定

[答案]　B

[解析]　a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，

b＝c－c－1＝1c＋c－1，

因为c＋10，cc－10，

所以c＋1＋cc＋c－10，所以ab.

9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k3且kN*)等于()

A．f(k)＋

B．f(k)＋

C．f(k)＋32

D．f(k)＋2

[答案]　B

[解析]　由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋.

10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是()

A．等边三角形

B．有一个内角是30的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．有一个内角是30的等腰三角形

[答案]　C

[解析]　∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得，

sinAa＝sinBb＝sinCc，sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc，

sinB＝cosB，sinC＝cosC，B＝C＝45，

△ABC是等腰直角三角形．

11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝abba的大小关系是()

A．p

B．pq

C．p＞q

D．p＜q

[答案]　A

若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，pq＞1；

若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，pq＞1；

若a＝b，则pq＝1，

pq.

12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011＝()

x 1 2 3 4 5

f(x) 4 1 3 5 2

A.1

B．2

C．4

D．5

[答案]　C

[解析]　x1＝f(x0)＝f(5)＝2，

x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4，故应选C.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)

13．半径为r的圆的面积S(r)＝r2，周长C(r)＝2r，若将r看作(0，＋)上的变量，则(r2)＝2r.①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．

[答案]　43R3＝4R2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．

14．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.

[答案]　12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1

[解析]　f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1

f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k

f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.

15．观察①sin210＋cos240＋sin10cos40＝34；

②sin26＋cos236＋sin6cos36＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．

[答案]　sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝34

[解析]　观察40－10＝30，36－6＝30，

由此猜想：

sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝34.

可以证明此结论是正确的，证明如下：

sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)

＝1－cos22＋1＋cos(60＋2)2＋12[sin(30＋2)－sin30]＝1＋12[cos(60＋2)－cos2]＋12sin(30＋2)－12

＝1＋12[－2sin(30＋2)sin30]＋12sin(30＋2)－12

＝34－12sin(30＋2)＋12sin(30＋2)＝34.

16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a＋b、a－b、ab、abP(除数b0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，bQ}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集QM，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

[答案]　③④

[解析]　考查阅读理解、分析等学习能力．

①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；

②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋bM；

③由数域P的定义知，若aP，bP(P中至少含有两个元素)，则有a＋bP，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nbP，P中必含有无穷多个元素，③对．

④设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，bQ，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、bQ}必是数域，这样的数域F有无穷多个．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知：a、b、cR，且a＋b＋c＝1.

求证：a2＋b2＋c213.

[证明]　由a2＋b22ab，及b2＋c22bc，c2＋a22ca.

三式相加得a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.

3(a2＋b2＋c2)(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.

由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)1，

即a2＋b2＋c213.

18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．

2cos4＝2，

2cos8＝2＋2，

2cos16＝2＋2＋2，

……

[证明]　2cos4＝222＝2

2cos8＝21＋cos42＝21＋222

＝2＋2

2cos16＝21＋cos82

＝21＋122＋22＝2＋2＋2

…

19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，anan－1＝2an－1－1.

(1)求a2、a3、a4；

(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式．

[解析]　(1)由anan－1＝2an－1－1得

an＝2－1an－1，

代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得

a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.

(2)证明：由anan－1＝2an－1－1变形，得

(an－1)(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，

即1an－1－1an－1－1＝1，

所以{1an－1}是等差数列．

由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，

变形得an－1＝22n－1，

所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．

20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．

[解析]　(1)证法1：任取x1，x2(－1，＋)，不妨设x1x2，则x2－x10， 且ax10，

又∵x1＋10，x2＋10，

f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1

＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)

＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)0，

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，

故函数f(x)在(－1，＋)上为增函数．

证法2：f(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2

∵a1，lna0，axlna＋3(x＋1)20，

f(x)0在(－1，＋)上恒成立，

即f(x)在(－1，＋)上为增函数．

(2)解法1：设存在x0－1)满足f(x0)＝0

则ax0＝－x0－2x0＋1，且01.

0－x0－2x0＋11，即122，与假设x00矛盾．

故方程f(x)＝0没有负数根．

解法2：设x0－1)

①若－10，则x0－2x0＋1－2，ax01，f(x0)－1.

②若x0－1则x0－2x0＋10，ax00，

f(x0)0.

综上，x－1)时，f(x)－1或f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．

21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？

[解析]　锐角三角形　∵cn＝an＋bn (n＞2)，c＞a, c＞b，

由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.

∵cosC＝a2＋b2－c22ab，

要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，①

注意到条件：an＋bn＝cn，

于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②

∵c＞a，c＞b，n＞2，cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，

即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，

从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn

＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，

这说明②式成立，从而①式也成立．

故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．

22．(本题满分14分)(2010安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.

证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何nN＋，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.

[分析]　本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．

解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．

[证明]　先证必要性．

设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．

若d0，则

1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1

＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1

＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1

＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1

＝na1an＋1.

再证充分性．

证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切nN＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3

两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.

假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式

1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①

1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②

将①代入②，得

k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，

在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.

将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.

由数学归纳法原理知，对一切nN，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．

证法2：(直接证法)依题意有

1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①

1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②

②－①得

1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，

在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③

同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n2)④

③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)

即an＋2－an＋1＝an＋1－an，

由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意nN*均成立．所以{an}是等差数列．