选修2-2 2.1.2 演绎推理

一、选择题

1．“∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

[答案]　B

[解析]　由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.

2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是()

A．大前提错　

B．小前提错

C．结论错

D．正确的

[答案]　D

[解析]　前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.

3．《论语学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()

A．类比推理

B．归纳推理

C．演绎推理

D．一次三段论

[答案]　C

[解析]　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

4．“因对数函数y＝logax(x0)是增函数(大前提)，而y＝log13x是对数函数(小前提)，所以y＝log13x是增函数(结论)”．上面推理的错误是()

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

[答案]　A

[解析]　对数函数y＝logax不是增函数，只有当a1时，才是增函数，所以大前提是错误的．

5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()

A．①

B．②

C．③

D．①②

[答案]　B

[解析]　由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.

6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是()

A．①

B．②

C．①②

D．③

[答案]　B

[解析]　易知应为②.故应选B.

7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理()

A．大前提错

B．小前提错

C．推论过程错

D．正确

[答案]　C

[解析]　大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.

8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()

A．正确

B．推理形式正确

C．两个自然数概念不一致

D．两个整数概念不一致

[答案]　A

[解析]　三段论的推理是正确的．故应选A.

9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为()

[答案]　A

[解析]　如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为 ；

如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为 ．故应选A.

10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()

A．使用了归纳推理

B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但大前提使用错误

D．使用了“三段论”，但小前提使用错误

[答案]　D

[解析]　应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．

二、填空题

11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．

[答案]　log2x－20

[解析]　由三段论方法知应为log2x－20.

12．以下推理过程省略的大前提为：________.

∵a2＋b22ab，

2(a2＋b2)a2＋b2＋2ab.

[答案]　若ab，则a＋cb＋c

[解析]　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若ab，则a＋cb＋c.

13．(2010重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，yR)，则f(2010)＝________.

[答案]　12

[解析]　令y＝1得4f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)

即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)　①

令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)　②

由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，

即f(x－1)＝－f(x＋2)

f(x)＝－f(x＋3)，f(x＋3)＝－f(x＋6)

f(x)＝f(x＋6)

即f(x)周期为6，

f(2010)＝f(6335＋0)＝f(0)

对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得

4f(1)f(0)＝2f(1)，

f(0)＝12即f(2010)＝12.

14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．

[答案]　四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等

[解析]　设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝13S△AOBh，

又S△AOB＝12|AB|d(d为O到直线AB的距离)．

因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．

三、解答题

15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则B＝C.

[证明]　如下图延长AB，DC交于点M.

①平行线分线段成比例大前提

②△AMD中AD∥BC小前提

③MBBA＝MCCD结论

①等量代换大前提

②AB＝CD小前提

③MB＝MC结论

在三角形中等边对等角大前提

MB＝MC小前提

1＝MBC＝MCB＝2结论

等量代换大前提

B＝1　C＝2小前提

B＝C结论

16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(xR)为奇函数．

[证明]　若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提

∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提

f(x)＝x3＋x是奇函数结论

17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．

若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．

[解析]　推理的第一个关键环节：

大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，

小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，

结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．

|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．

推理的第二个关键环节：

大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝a，

小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，

结论：－a＋2＝6且2a＋2＝6.

以下可得出结论a＝－4.

18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．

(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

[解析]　(1)Fl|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意，y1，y2不同时为0.

上述条件等价于

y1＝y2x21＝x22(x1＋x2)(x1－x2)＝0.

∵x1x2，上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－12x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋12x－m＝0，得x1＋x2＝－14.

A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式＝14＋8m0，即m－132.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则

x0＝12(x1＋x2)＝－18，

y0＝－12x0＋m＝116＋m.

由Nl，得116＋m＝－14＋b，于是

b＝516＋m516－132＝932.

即得l在y轴上截距的取值范围是932，＋.