选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数

一、选择题

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f(x)()

A．等于0　 B．大于0

C．小于0 D．以上都有可能

[答案]　A

[解析]　∵M＝m，y＝f(x)是常数函数

f(x)＝0，故应选A.

2．设f(x)＝14x4＋13x3＋12x2在[－1,1]上的最小值为()

A．0 B．－2　

C．－1　 D.1312

[答案]　A

[解析]　y＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)

令y＝0，解得x＝0.

f(－1)＝512，f(0)＝0，f(1)＝1312

f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.

3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()

A.2227 B．2

C．－1 D．－4

[答案]　C

[解析]　y＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)

令y＝0解得x＝13或x＝－1

当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；

当x＝13时，y＝2227；当x＝1时，y＝2.

所以函数的最小值为－1，故应选C.

4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()

A．最大值为13，最小值为34

B．最大值为1，最小值为4

C．最大值为13，最小值为1

D．最大值为－1，最小值为－7

[答案]　A

[解析]　∵y＝x2－x＋1，y＝2x－1，

令y＝0，x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.

5．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为()

A.2 B．1

C．0 D．不存在

[答案]　A

[解析]　y＝12x－121－x＝121－x－xx1－x

由y＝0得x＝12，在0，12上y0，在12，1上

y0.x＝12时y极大＝2，

又x(0,1)，ymax＝2.

6．函数f(x)＝x4－4x (|x|1)()

A．有最大值，无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值

D．既无最大值，也无最小值

[答案]　D

[解析]　f(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．

令f(x)＝0，得x＝1.又x(－1,1)

该方程无解，

故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.

7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

A．5，－15 B．5,4

C．－4，－15 D．5，－16

[答案]　A

[解析]　y＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，

令y＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．

∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，

ymax＝5，ymin＝－15，故选A.

8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()

A．－32 B.12

C．－12 D.12或－32

[答案]　C

[解析]　y＝－2x－2，令y＝0得x＝－1.

当a－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．

当－12时，f(x)在[a,2]上单调递减，

最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，

解得a＝－12或a＝－32(舍去)．

9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

()

A．k－3或－11或k3

B．－3－1或13

C．－22

D．不存在这样的实数

[答案]　B

[解析]　因为y＝3x2－12，由y0得函数的增区间是(－，－2)和(2，＋)，由y0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1k＋1或k－1k＋1，解得－3－1或13，故选B.

10．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋)上是增函数，则实数a的取值范围是()

A．[3，＋) B．[－3，＋)

C．(－3，＋) D．(－，－3)

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋)上是增函数，f(x)＝3x2＋a0在[1，＋)上恒成立

即a－3x2在[1，＋)上恒成立

又∵在[1，＋)上(－3x2)max＝－3

a－3，故应选B.

二、填空题

11．函数y＝x32＋(1－x)32，01的最小值为______．

[答案]　22

由y0得x12，由y0得x12.

此函数在0，12上为减函数，在12，1上为增函数，最小值在x＝12时取得，ymin＝22.

12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋)上的最大值________，最小值为________．

[答案]　不存在；－2834

[解析]　f(x)＝－36＋6x＋12x2，

令f(x)＝0得x1＝－2，x2＝32；当x32时，函数为增函数，当－232时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f32＝－2834，所以最小值为－2834.

13．若函数f(x)＝xx2＋a(a0)在[1，＋)上的最大值为33，则a的值为________．

[答案]　3－1

[解析]　f(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2

令f(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)

当xa时，f(x)0；当0a时，f(x)0；

当x＝a时，f(x)＝a2a＝33，a＝321，不合题意．

f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.

14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.

[答案]　32

[解析]　f(x)＝3x2－12

由f(x)0得x2或x－2，

由f(x)0得－22.

f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．

又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，

f(3)＝－1，

最大值M＝24，最小值m＝－8，

M－m＝32.

三、解答题

15．求下列函数的最值：

(1)f(x)＝sin2x－x－x2；

(2)f(x)＝x＋1－x2.

[解析]　(1)f(x)＝2cos2x－1.

令f(x)＝0，得cos2x＝12.

又x－2，2x[－]，

2x＝3，x＝6.

函数f(x)在－2上的两个极值分别为

f6＝32－6，f－6＝－32＋6.

又f(x)在区间端点的取值为

f2＝－2，f－2.

比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－2.

(2)∵函数f(x)有意义，

必须满足1－x20，即－11，

函数f(x)的定义域为[－1,1]．

f(x)＝1＋12(1－x2)－12(1－x2)＝1－x1－x2 .

令f(x)＝0，得x＝22 .

f(x)在[－1,1]上的极值为

f22＝22＋1－222＝2.

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.

16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．

[解析]　f(x)的定义域为－32，＋.

f(x)＝2x＋22x＋3＝4x2＋6x＋22x＋3

＝2(2x＋1)(x＋1)2x＋3.

当－32－1时，f(x)0；

当－1－12时，f(x)0；

当x－12时，f(x)0，

所以f(x)在－34，14上的最小值为

f－12＝ln2＋14.

又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln4990，

所以f(x)在区间－34，14上的最大值为 f14＝ln72＋116.

17．(2010安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，xR.

(1)求f(x)的单调区间及极值；

(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.

[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．

[解析]　(1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，xR知f(x)＝ex－2，xR.

令f(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－，ln2) ln2 (ln2，＋)

f(x) － 0 ＋

f(x) 单调递减 ? 2(1－ln2＋a) 单调递增 ?

故f(x)的单调递减区间是(－，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋)，

f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，xR，于是g(x)＝ex－2x＋2a，xR.

由(1)知当aln2－1时，g(x)最小值为g(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.

于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当aln2－1时，对任意x(0，＋)，都有g(x)g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x(0，＋)，g(x)0.

即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.

18．已知函数f(x)＝4x2－72－x，x[0,1]．

(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x[0,1]．若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．

[解析]　(1)对函数f(x)求导，得

f(x)＝－4x2＋16x－7(2－x)2＝－(2x－1)(2x－7)(2－x)2

令f(x)＝0解得x＝12或x＝72.

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 (0，12)

12

(12，1)

1

f(x) － 0 ＋

f(x) －72

? －4 ? －3

所以，当x(0，12)时，f(x)是减函数；

当x12，1时，f(x)是增函数．

当x[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g(x)＝3(x2－a2)．

因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.

因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x[0,1]时有g(x)[g(1)，g(0)]．

又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x[0,1]时有g(x)[1－2a－3a2，－2a]．

任给x1[0,1]，f(x1)[－4，－3]，存在x0[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，

则[1－2a－3a2，－2a][－4，－3]．

即1－2a－3a2－4，①－2a－3.②

解①式得a1或a－53；解②式得a32.

又a1，故a的取值范围为132.