选修2-2 2. 3 数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(nN*，n1)时，第一步应验证不等式()

A．1＋122

B．1＋12＋13＜2

C．1＋12＋13＜3

D．1＋12＋13＋14＜3

[答案]　B

[解析]　∵nN*，n＞1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(nN*，a1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()

A．1

B．1＋a＋a2

C．1＋a

D．1＋a＋a2＋a3

[答案]　B

[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.

3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(nN*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()

A.12n＋1 B.12n＋2

C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2

[答案]　D

[解析]　f(n＋1)－f(n)

＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12(n＋1)

－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1

＝12n＋1－12n＋2.

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(kN*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()

A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

[答案]　C

[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()

A．假设n＝k(kN*)，证明n＝k＋1时命题也成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立

C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1(kN)，证明n＝k＋1时命题也成立

[答案]　C

[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()

A．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1

D．f(n)＋n－2

[答案]　C

[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切nN*，都有2nn2－2”这一命题，证明过程中应验证()

A．n＝1时命题成立

B．n＝1，n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

[答案]　D

[解析]　假设n＝k时不等式成立，即2kk2－2，

当n＝k＋1时2k＋1＝22(k2－2)

由2(k2－2)(k－1)2－4k2－2k－30

(k＋1)(k－3)k3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()

A．30

B．26

C．36

D．6

[答案]　C

[解析]　因为f(1)＝36，f(2)＝108＝336，f(3)＝360＝1036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝()

A.2(n＋1)2

B.2n(n＋1)

C.22n－1

D.22n－1

[答案]　B

[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1

Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an

an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an

an＋1＝nn＋2an　(n2)．

当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，a2＝a13＝13

a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.

由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110

猜想an＝2n(n＋1)，故选B.

10．对于不等式n2＋nn＋1(nN＋)，某学生的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(kN＋)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，

当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

[答案]　D

[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.

二、填空题

11．用数学归纳法证明“2n＋1n2＋n＋2(nN*)”时，第一步的验证为________．

[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左右，不等式成立

[解析]　当n＝1时，左右，不等式成立，

∵nN*，第一步的验证为n＝1的情形．

12．已知数列112，123，134，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测Sn＝________.

[答案]　nn＋1

[解析]　解法1：通过计算易得答案．

解法2：Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)

＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1

＝1－1n＋1＝nn＋1.

13．对任意nN*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

[答案]　5

[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.

14．用数学归纳法证明命题：14＋27＋310＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.

(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．

(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．

(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．

[答案]　(1)1；1(31＋1)；1(1＋1)2；k；

(k－1)[3(k－1)＋1]

(2)14＋27＋310＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2

(3)14＋27＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]

＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]

[解析]　由数学归纳法的法则易知．

三、解答题

15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(nN*)．

[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何nN*都成立．

16．求证：12＋13＋14＋…＋12n－1n－22(n2)．

[证明]　①当n＝2时，左＝120＝右，

不等式成立．

②假设当n＝k(k2，kN*)时，不等式成立．

即12＋13＋…＋12k－1k－22成立．

那么n＝k＋1时，12＋13＋…＋12k－1

＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1

k－22＋12k－1＋1＋…＋12kk－22＋12k＋12k＋…＋12k

＝k－22＋2k－12k＝(k＋1)－22，

当n＝k＋1时，不等式成立．

据①②可知，不等式对一切nN*且n2时成立．

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．

[证明]　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．

(2)假设当n＝k(k2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．

当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．

从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．

所以n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，原命题成立．

18．(2010衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论．

[分析]　由题目可获取以下主要信息：

①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；

②利用数学归纳法证明猜想的结论．

解答本题的关键是先利用特殊值猜想．

[解析]　当n＝1时，21＋2＝4n2＝1，

当n＝2时，22＋2＝6n2＝4，

当n＝3时，23＋2＝10n2＝9，

当n＝4时，24＋2＝18n2＝16，

由此可以猜想，

2n＋2n2(nN*)成立

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，

左边＝21＋2＝4，右边＝1，

所以左边右边，

所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，

右边＝22＝4，所以左边右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，

所以左边右边．

(2)假设n＝k时(k3且kN*)时，不等式成立，

即2k＋2k2.那么n＝k＋1时，

2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2k2－2.

又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3

＝(k－3)(k＋1)0，

即2k2－2(k＋1)2，故2k＋1＋2(k＋1)2成立．

根据(1)和(2)，原不等式对于任何nN*都成立．