2016-10-26
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1.下列数列是等比数列的是()
A.1,1,1,1,1 B.0,0,0,…
C.0,12,14,18,… D.-1,-1,1,-1,…
答案:A
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则公比q等于()
A.-12 B.-2
C.2 D.12
答案:D
3.若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是________.
答案:405
4.在等比数列{an}中,
(1)已知a3=9,a6=243,求a5;
(2)已知a1=98,an=13,q=23,求n.
解:(1)∵a6=a3q3,q3=27,q=3.
a5=a613=81.
(2)∵an=a1qn-1,13=98(23)n-1.
(23)n-1=(23)3,n=4.
一、选择题
1.等比数列{an}中,a1=2,q=3,则an等于()
A.6 B.32n-1
C.23n-1 D.6n
答案:C
2.在等比数列{an}中,若a2=3,a5=24,则数列{an}的通项公式为()
A.322n B.322n-2
C.32n-2 D.32n-1
解析:选C.∵q3=a5a2=243=8,q=2,而a1=a2q=32,an=322n-1=32n-2.
3.等比数列{an}中,a1+a2=8,a3-a1=16,则a3等于()
A.20 B.18
C.10 D.8
解析:选B.设公比为q(q1),则
a1+a2=a1(1+q)=8,
a3-a1=a1(q2-1)=16,
两式相除得:1q-1=12,解得q=3.
又∵a1(1+q)=8,a1=2,
a3=a1q2=232=18.
4.(2010年高考江西卷)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=()
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
解析:选A.∵|a1|=1,
a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2=a2q3,
q3=-8,q=-2.
又a5>a2,即a2q3>a2,
a2<0.
而a2=a1q=a1(-2)<0,
a1=1.故an=a1(-2)n-1=(-2)n-1.
5.下列四个命题中正确的是()
A.公比q>1的等比数列的各项都大于1
B.公比q<0的等比数列是递减数列
C.常数列是公比为1的等比数列
D.{lg2n}是等差数列而不是等比数列
解析:选D.A错,a1=-1,q=2,数列各项均负.B错,a1=1,q=-1,是摆动数列.C错,常数列中0,0,0,…,不是等比数列.lg2n=nlg2,是首项为lg2,公差为lg2的等差数列,故选D.
6.等比数列{an}中,a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是()
A.4 B.4
C.14 D.14
解析:选A.由an=182n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,其等比中项为4.
二、填空题
7.若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项,则x的值为__________.
解析:由于x,2x+2,3x+3成等比数列,
2x+2x=3x+32x+2=32且x-1,0.
2(2x+2)=3x,x=-4. X k b 1 . c o m
答案:-4
8.等比数列{an}中,若an+2=an,则公比q=__________;若an=an+3,则公比q=__________.
解析:∵an+2=an,anq2=an,q=1;
∵an=an+3,an=anq3,q=1.
答案:1 1
9.等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式为an=________.
解析:a3=a1q2=3,a10=a1q9=384.
两式相比得q7=128,q=2,a1=34.
an=a1qn-1=342n-1=32n-3.
答案:32n-3
三、解答题
10.已知数列{an}满足:lgan=3n+5,求证:{an}是等比数列.
证明:由lgan=3n+5,得an=103n+5,
an+1an=103n+1+5103n+5=1000=常数.
{an}是等比数列.
11.已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=203,求{an}的通项公式.
解:设等比数列{an}的公比为q,
则q0.a2=a3q=2q,a4=a3q=2q,
2q+2q=203.解得q1=13,q2=3.
当q=13时,a1=18,
an=18(13)n-1=233-n.
当q=3时,a1=29,
an=293n-1=23n-3.
综上,当q=13时,an=233-n;
当q=3时,an=23n-3.
12.一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-1312是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
解:∵a,2a+2,3a+3是等比数列的前三项,
a(3a+3)=(2a+2)2.
解得a=-1,或a=-4.
当a=-1时,数列的前三项依次为-1,0,0,
与等比数列定义矛盾,故a=-1舍去.
当a=-4时,数列的前三项依次为-4,-6,-9,
则公比为q=32, an=-4(32)n-1,
令-4(32)n-1=-1312,
即(32)n-1=278=(32)3,
n-1=3,即n=4,
-1312是这个数列中的第4项.
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