6.2 解一元一次方程

A卷：基础题

一、选择题

1．判断下列移项正确的是（ ）

A．从13-x=-5，得到13-5=x B．从-7x+3=-13x-2，得到13x+7x=-3-2

C．从2x+3=3x+4，得到2x-4=3x-3 D．从-5x-7=2x-11，得到11-7=2x-5x

2．若x=m是方程ax=5的解，则x=m也是方程（ ）的解

A．3ax=15 B．ax-3=-2 C．ax-0.5=- D．ax= -10

3．解方程 =1时，去分母正确的是（ ）

A．4x+1-10x+1=1 B．4x+2-10x-1=1

C．2（2x+1）-（10x+1）=6 D．2（2x+1）-10x+1=6

二、填空题

4．单项式- ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，则x-2=_______．

5．已知关于x的方程2x+a=0的解比方程3x-a=0的解大5，则a=_______．

6．若关于x的一元一次方程 =1的解是x=-1，则k=______．

三、计算题

7．解一元一次方程．

（1） -7=5+x； （2） y- = y+3；

（3） （y-7）- [9-4（2-y）]=1．

四、解答题

8．利用方程变形的依据解下列方程．

（1）2x+4=-12； （2） x-2=7．

9．关于x的方程kx+2=4x+5有正整数解，求满足条件的k的正整数值．

10．蜻蜓有6条腿，蜘蛛有8条腿，现有蜘蛛，蜻蜓若干只，它们共有360条腿，且蜘蛛数是蜻蜓数的3倍，求蜻蜓，蜘蛛各有多少只？

五、思考题

11．由于0. =0.999…，当问0. 与1哪个大时？很多同学便会马上回答：“当然0. 1，因为1比0. 大0.00…1．”如果我告诉你0． =1，你相信吗？请用方程思想说明理由．

B卷：多彩题

一、提高题

1．（一题多解题）解方程：4（3x+2）-6（3-4x）=7（4x-3）．

2．（巧题妙解题）解方程：x+ [x+ （x-9）]= （x-9）．

二、知识交叉题

3．（科内交叉题）已知（a2-1）x2-（a+1）x+8=0是关于x的一元一次方程．

（1）求代数式199（a+x）（x-2a）+3a+4的值；

（2）求关于y的方程a│y│=x的解．

三、实际应用题

4．小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑6米，小明每秒跑4米．

（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

（2）如果小彬站在百米跑道的起点处，小明站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小彬追上小明？

四、经典中考题

5．（2008，重庆，3分）方程2x-6=0的解为________．

6．（2008，黑龙江，3分）如图，某商场正在热销2008年北京奥运会的纪念品，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃的价格是________元．

7．（2008，北京，5分）京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

C卷：课标新型题

一、开放题

1．（条件开放题）写出一个一元一次方程，使它的解是-11，并写出解答过程．

二、阅读理解题

2．先看例子，再解类似的题目．

例：解方程│x│+1=3．

解法一：当x0时，原方程化为x+1=3，解方程，得x=2；当x0时，原方程化为-x+1=3，解方程，得x=-2．所以方程│x│+1=3的解是x=2或x=-2．

解法二：移项，得│x│=3-1，合并同类项，得│x│=2，由绝对值的意义知x=2，所以原方程的解为x=2或x=-2．

问题：用你发现的规律解方程：2│x│-3=5．（用两种方法解）

三、图表信息题

3．（表格信息题）2007年4月18日是全国铁路第六次大提速的第一天，小明的爸爸因要出差，于是去火车站查询列车的开行时间，下面是小明的爸爸从火车站带回家的时刻表：

2007年4月18日起次列车时刻表

始发站 发车时间 终点站 到站时间

A站 上午8：20 B站 次日12：20

小明的爸爸找出以前同一车次的时刻表如下：

2006年次列车时刻表

始发站 发车时间 终点站 到站时间

A站 14：30 B站 第三日8：30

比较了两张时刻表后，小明的爸爸提出了如下两个问题，请你帮小明解答：

（1）提速后该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？

（2）若该次列车提速后的平均速度为每小时200千米，那么，该次列车原来的平均速度为多少？（结果精确到个位）

4.解关于x的方程：kx+m=（2k-1）x+4．

参考答案

A卷

一、1．C 点拨：A．-x从左边移到右边变成x，但-5从右边移到左边没有改变符号，不正确；B．-7x没有移项，不能变号，不正确；C．3移项变号了，4移项变号了，正确；D．-5x移项没变号，不正确．

拓展：（1）拓展是从方程一边移到另一边，而不是在方程的一边交换位置；

（2）移项要变号，不变号不能移项．

2．A 点拨：因为x=m是方程ax=5的解，所以am=5，再将x=m分别代入A，B，C，D中，哪个方程能化成am=5，则x=m就是哪个方程的解．

3．C 点拨：去分母，切不可漏乘不含分母的项，不要忽视分数线的“括号”作用．

二、4．0 点拨：根据同类项的概念知x+1=2x-1，解得x=2．

5．-6 点拨：方程2x+a=0的解为x=- ，方程3x-a=0的解为x= ，由题意知- = +5，解得a=-6．

6．1 点拨：把x=-1代入，求关于k的一元一次方程．

三、7．解：（1）移项，得 -x=5+7，合并同类项，得- =12，系数化为1，得x=-24．

（2）去分母，得2y-3=3y+18，移项，得2y-3y=18+3，

合并同类项，得-y=21，系数化为1，得y=-21．

（3）去分母，得9（y-7）-4[9-4（2-y）]=6，

去括号，得9y-63-4（9-8+4y）=6，9y-63-36+32-16y=6．

移项，得9y-16y=6+36+63-32，合并同类项，得-7y=73．

系数化为1，得y=- ．

点拨：按解一元一次方程的步骤，根据方程的特点灵活求解．移项要变号，去分母时，常数项也要乘分母的最小公倍数．

四、8．解：（1）方程两边都减去4，得2x+4-4=-12-4，2x=-16，

方程两边都除以2，得x=-8．

（2）方程两边都加上2，得 x-2+2=7+2， x=9，

方程两边都乘以3，得x=27．

点拨：解简单一元一次方程的步骤分两大步：

（1）将含有未知数一边的常数去掉；（2）将未知数的系数化为1．

9．解：移项，得kx-4x=5-2，合并同类项，得（k-4）x=3，

系数化为1，得x= ，

因为 是正整数，所以k=5或k=7．

点拨：此题用含k的代数式表示x．

10．解：设蜻蜓有x只，则蜘蛛有3x只，依据题意，得6x+83x=360，

解得x=12，则3x=312=36．

答：蜻蜓有12只，蜘蛛有36只．

点拨：本题的等量关系为：蜻蜓所有的腿数+蜘蛛所有的腿数=360．此题还可设蜘蛛有x只，列方程求解，同学们不妨试一下．

五、11．解：理由如下：设0. =x，方程两边同乘以10，得9. =10x，即9+0． =10x，所以9+x=10x，解得x=1，由此可知0． =1．

B卷

一、1．分析：此题可先去括号，再移项求解，也可先移项，合并同类项，再去括号求解．

解法一：去括号，得12x+8-18+24x=28x-21，

移项，得12x+24x-28x=-21+18-8，

合并同类项，得8x=-11，系数化为1，得x=- ．

解法二：移项，得4（3x+2）+6（4x-3）-7（4x-3）=0，

合并同类项，得4（3x+2）-（4x-3）=0．

去括号，得12x+8-4x+3=0．

移项、合并同类项，得8x=-11，

系数化为1，得x=- ．

点拨：此方程的解法不唯一，要看哪种解法较简便，解法二既减少了负数，又降低了计算的难度．

2．分析：此题采用传统解法较繁，由于 （x-9）= （x-9），而右边也有 （x-9），故可把 （x-9）看作一个“整体”移项合并．

解：去中括号，得x+ x+ （x-9）= （x-9），

移项，得x+ x+ （x-9）- （x-9）=0，

合并同类项，得x=0，所以x=0．

点拨：把 （x-9）看作一个“整体”移项合并，能化繁为简，正是本题的妙解之处．

二、3．分析：由于所给方程是一元一次方程，

故x2项的系数a2-1=0且x项的系数-（a+1）0，

从而求得a值，进而求得原方程的解，最后将a，x的值分别代入所求式子即可．

解：由题意，得a2-1=0且-（a+1）0，所以a=1且a-1，

所以a=1．故原方程为-2x+8=0，解得x=4．

（1）将a=1，x=4代入199（a+x）（x-2a）+3a+4中，

得原式=199（1+4）（4-21）+31+4=1997．

（2）将a=1，x=4代入a│y│=x中，得│y│=4，解得y=4．

点拨：本题综合考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程及代数式求值等知识．

三、4．分析：（1）实际上是异地同地相向相遇问题；

（2）实际上是异地同时同向追及问题．

解：（1）设x秒后两人相遇，依据题意，得4x+6x=100，解得x=10．

答：10秒后两人相遇．

（2）设y秒后小彬追上小明，依据题意，得4y+10=6y，解得y=5．

答：5秒后小彬能追上小明．

点拨：行程问题关键是搞清速度、时间、路程三者的关系，分清是相遇问题还是追及问题．

拓展：相遇问题一般从以下几个方面寻找等量列方程：

（1）从时间考虑，两人同时出发，相遇时两人所用时间相等；（2）从路程考虑，①沿直线运动，相向而行，相遇时两人所走路程之和=全路程．②沿圆周运动，两人由同一地点相背而行，相遇一次所走的路程的和=一周长；（3）从速度考虑，相向而行，他们的相对速度=他们的速度之和．追及问题可从以下几个方面寻找等量关系列方程：（1）从时间考虑，若同时出发，追及时两人所用时间相等；（2）从路程考虑，①直线运动，两人所走距离之差=需要赶上的距离．②圆周运动，两人所行距离之差=一周长（从同一点出发）； （3）从速度考虑，两人相对速度=他们的速度之差．

四、5．x=3

点拨：2x-6=0，移项，得2x=6，系数化为1，得x=3．

6．145 点拨：设一盒福娃x元，则一枚奥运徽章的价格为（x-120）元，

所以x+（x-120）=170，解得x=145．

7．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，

则由天津返回北京的平均速度是每小时（x+40）千米．

依题意，得 = （x+40），解得x=200．

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．

点拨：本题相等关系为：北京到天津的路程=天津到北京的路程．采用间接设未知数比较简单．

C卷

一、1．分析：只要写出的方程是一元一次方程，并且其解是-11即可．

解： ．去分母，得3（x+1）-12=2（2x+1），

去括号，得3x+3-12=4x+2，移项，得3x-4x=2+12-3，

合并同类项，得-x=11．系数化为1，得x=-11．

拓展：此类问题答案不唯一，只要合理即可．有利于培养同学们的逆向思维及发散思维．

二、2．分析：解答此题的关键是通过阅读，正确理解解题思路，然后仿照给出的方法解答新的题目即可．

解：法一：当x0时，原方程化为2x-3=5，解得x=4；

当x0时，原方程化为-2x-3=5，解得x=-4．

法二：移项，得2│x│=8，系数化为1，得│x│=4，

所以x=4，即原方程的解为x=4或x=-4．

点拨：由于未知数x的具体值的符号不确定，

故依据绝对值的定义，分x0或x0两种情况加以讨论．

三、3．分析：分别求出该次列车提速前后的运行时间，再求差，求列车原来的平均速度，需求出A，B两站的距离．

解：（1）提速后的运行时间：24+12：20-8：20=28（小时），

提速前的运行时间：24：00-14：30+24+8：30=42（小时），

所以缩短时间：42-28=14（小时）．

答：现在该次列车的运行时间比以前缩短了14小时．

（2）设列车原来的平均速度为x千米/小时，

根据题意得，20028=42x，解得x=133 133．

答：列车原来的平均速度为133千米/时．

点拨：弄懂表格给出的信息，求出各段相应的时间是解答本题的关键．

4.分析：由于未知数x的系数含有字母，因此方程解的情况是由字母系数及常数项决定的．

解：化简原方程，得（k-1）x=m-4．

当k-10时，有唯一解，是x= ；

当k-1=0，且m-40时，此时原方程左边=0x=0，而右边0，故原方程无解；

当k-1=0，且m-4=0时，原方程左边=（k-1）x=0x=0，而右边=m-4=0，故不论x取何值，等式恒成立，即原方程有无数解．

合作共识：将方程，经过变形后，化为ax=b的形式，由于a，b值不确定，

故原方程的解需加以讨论．

点拨：解关于字母系数的方程，将方程化为最简形式（即ax=b），需分a0，a=0且b=0，a=0且b0三种情况加以讨论，从而确定出方程的解．