实 数

有理数和无理数统称实数

1、有理数：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

实数的有关概念

一、科学记数法

1、定义：将一个数字表示成 a10的n次幂的形式，其中110，n表示整数，这种记数方法叫科学计数法。

2、快速科学记数的方法

（1）大于10的数的表示方法

对于10的指数大于0的情形，数出除了第一位以外的数位的个数，即代表0的个数。

如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科学记数法写作1.81012

（2）小于0的数的表示方法

10的指数小于0的情形，数出非有效零的总数（第一个非零数字前的所有零的总数）

如0.00934593，第一位非零数字（有效数字）9前面有3个零，科学记数法写作9.34593*10-3。即第一位非零数字前的0的个数为n，就为10-n

二、数轴

1、定义

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线 叫做数轴，它满足以下要求:(1)在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1(向右1个单位长度)，2(向右2个单位长度)，3(向右3个单位长度)，从原点向左，用类似方法依次表示-1(向左1个单位长度)，-2(向左2个单位长度)，-3(向左3个单位长度)

在数轴上，除了数0要用原点表示外，要表示任何一个不为0的有理数，根据这个数的正负号确定它所在数轴的哪一边(通常正数在原点的右边，负数在原点的左边)，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后画上相应的点。

2、几何意义

数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可。

1)从原点出发，朝正方向的射线(正半轴)上的点对应正数，相反方向的射线(负半轴)上的点对应负数，原点对应零。

2)在数轴上表示的两个数，正方向的数总比另一边的数大。

3)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

注:单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度1，那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米，厘米，毫米等表示长度的单位。

二者不容混淆。

数轴上的点和数是一一对应的。(任何一个数，包括虚数，都可以用数轴上的一个点来表示。)

数轴的正方向一般向右，但也不排除向左的可能，而且越靠近正方向的数越大，相反离正方向越远的数越小。

画数轴时一般要先画横线和正方向，其次画零，再根据题意画单位长度。

相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中的一个数叫做另一个数的相反数。

(a0)a的相反数是-a，0的相反数是0。

绝对值

在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。

公式|a|=?

若a大于0， 则a的绝对值还等于a;

若a等于0 ，则a的绝对值等于0 ;

若a小于0， 则a的绝对值等于-a。

性质:绝对值有非负性

倒数

1、倒数是指乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。

2、倒数的特点:一个正实数(1除外)加上它的倒数 一定大于2.一个负实数(-1除外)加上它的倒数一定小于-2.

实数的大小的比较

1、一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。

说明:数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

2、关于二次根式的大小的比较

如ab与cd的比较，先将其转化为a2b与c2d的形式，再比较a2b与c2d的大小，谁大谁的被开方数也就大

实数的运算

一、乘方

求n个相同因数的积的运算，叫乘方

如an=aaa......a（n个a相乘）

二、开方

1、平方根与算术平方根

1.平方根

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。比如 9 的平方根是3和-3。

零的平方根是0。负数没有实数平方根。

2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是3。规定,零的算术平方根是0。

算术平方根是定义在平方根基础上，因此负数没有算术平方根。

2、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根

其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)

中考必考题型

题型一 正负数的意义

1、陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8844m，记作+8844m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面415m，记作（）

A +415m B -415m C 415m D-8844m

分析：根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，高出海平面为正时，低于海平面记为负

答案：B

题型二 倒数、相反数、绝对值

2、负实数a的倒数是（）

A -a B 1/a C -1/a D a

分析：互为倒数的两个数的乘积等于1

答案：B

3、|-3|的相反数是（）

A 3 B -3 C1/3 D -1/3

答案 B

题型三 实数的大小比较

4、下列各数中，最小的实数是（ ）

A -3 B -1/2 C -2 D 1/3

答案：C

题型四 科学记数法

5、据不完全统计，全国每年浪费的食物若折合成粮食可养活约350000000人，将350000000用科学记数法可表示为（）

A 3.51010 B 3.5109

C 3.5108 D 3.5107

题型五 数轴

6、如图所示，数轴上的A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）

A （a-1）（b-1）＞0 B （b-1）（c-1）＞0

C（a+1）（b+1）＜0 D （b+1）（c+1）＜0

分析：根据题意得C＜-1＜0＜a＜1＜b，所以（a-1）（b-1）＜0，（b-1）（c-1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（b+1）（c+1）＜0

答案：D

题型六 实数的运算

7、计算（2016+1）0+（-1/3）-1-|2-2|-2sin45

解 （2016+1）0+（-1/3）-1-|2-2|-2sin45

=1+（-3）+2-2-2=-4