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2020初中数学知识梳理及必考题型——实数

2020-07-30 收藏

实 数

有理数和无理数统称实数

1、有理数:任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。

实数的有关概念

一、科学记数法

1、定义:将一个数字表示成 a10的n次幂的形式,其中110,n表示整数,这种记数方法叫科学计数法。

2、快速科学记数的方法

(1)大于10的数的表示方法

对于10的指数大于0的情形,数出除了第一位以外的数位的个数,即代表0的个数。

如1800000000000,除最高位1外尚有12位,故科学记数法写作1.81012

(2)小于0的数的表示方法

10的指数小于0的情形,数出非有效零的总数(第一个非零数字前的所有零的总数)

如0.00934593,第一位非零数字(有效数字)9前面有3个零,科学记数法写作9.34593*10-3。即第一位非零数字前的0的个数为n,就为10-n

二、数轴

1、定义

在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线 叫做数轴,它满足以下要求:(1)在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1(向右1个单位长度),2(向右2个单位长度),3(向右3个单位长度),从原点向左,用类似方法依次表示-1(向左1个单位长度),-2(向左2个单位长度),-3(向左3个单位长度)

在数轴上,除了数0要用原点表示外,要表示任何一个不为0的有理数,根据这个数的正负号确定它所在数轴的哪一边(通常正数在原点的右边,负数在原点的左边),再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度,然后画上相应的点。

2、几何意义

数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素,这三者缺一不可。

1)从原点出发,朝正方向的射线(正半轴)上的点对应正数,相反方向的射线(负半轴)上的点对应负数,原点对应零。

2)在数轴上表示的两个数,正方向的数总比另一边的数大。

3)正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。

注:单位长度则是指取适当的长度作为单位长度,比如可以取2m作为单位长度1,那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米,厘米,毫米等表示长度的单位。

二者不容混淆。

数轴上的点和数是一一对应的。(任何一个数,包括虚数,都可以用数轴上的一个点来表示。)

数轴的正方向一般向右,但也不排除向左的可能,而且越靠近正方向的数越大,相反离正方向越远的数越小。

画数轴时一般要先画横线和正方向,其次画零,再根据题意画单位长度。

相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中的一个数叫做另一个数的相反数。

(a0)a的相反数是-a,0的相反数是0。

绝对值

在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值

一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。

公式|a|=?

若a大于0, 则a的绝对值还等于a;

若a等于0 ,则a的绝对值等于0 ;

若a小于0, 则a的绝对值等于-a。

性质:绝对值有非负性

倒数

1、倒数是指乘积是1的两个数互为倒数,0没有倒数。

2、倒数的特点:一个正实数(1除外)加上它的倒数 一定大于2.一个负实数(-1除外)加上它的倒数一定小于-2.

实数的大小的比较

1、一切正数大于0,0大于一切负数,正数大于一切负数。

说明:数轴上右边的数总比左边的数大,两个负数相比较,绝对值大的反而小。

2、关于二次根式的大小的比较

如ab与cd的比较,先将其转化为a2b与c2d的形式,再比较a2b与c2d的大小,谁大谁的被开方数也就大

实数的运算

一、乘方

求n个相同因数的积的运算,叫乘方

如an=aaa......a(n个a相乘)

二、开方

1、平方根与算术平方根

1.平方根

一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。比如 9 的平方根是3和-3。

零的平方根是0。负数没有实数平方根。

2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是3。规定,零的算术平方根是0。

算术平方根是定义在平方根基础上,因此负数没有算术平方根。

2、立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a的立方根,也称为三次方根,也就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根

其中,a叫做被开方数,3叫做根指数。(a等于所有数,包括0)

中考必考题型

题型一 正负数的意义

1、陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶,高出海平面8844m,记作+8844m;陆地上最低处是地处亚洲西部的死海,低于海平面415m,记作()

A +415m B -415m C 415m D-8844m

分析:根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法,高出海平面为正时,低于海平面记为负

答案:B

题型二 倒数、相反数、绝对值

2、负实数a的倒数是()

A -a B 1/a C -1/a D a

分析:互为倒数的两个数的乘积等于1

答案:B

3、|-3|的相反数是()

A 3 B -3 C1/3 D -1/3

答案 B

题型三 实数的大小比较

4、下列各数中,最小的实数是( )

A -3 B -1/2 C -2 D 1/3

答案:C

题型四 科学记数法

5、据不完全统计,全国每年浪费的食物若折合成粮食可养活约350000000人,将350000000用科学记数法可表示为()

A 3.51010 B 3.5109

C 3.5108 D 3.5107

题型五 数轴

6、如图所示,数轴上的A、B、C三点表示的数分别为a、b、c,根据图中各点位置,下列各式正确的是()

A (a-1)(b-1)>0 B (b-1)(c-1)>0

C(a+1)(b+1)<0 D (b+1)(c+1)<0

分析:根据题意得C<-1<0<a<1<b,所以(a-1)(b-1)<0,(b-1)(c-1)<0,(a+1)(b+1)>0,(b+1)(c+1)<0

答案:D

题型六 实数的运算

7、计算(2016+1)0+(-1/3)-1-|2-2|-2sin45

解 (2016+1)0+(-1/3)-1-|2-2|-2sin45

=1+(-3)+2-2-2=-4

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