19.4.逆命题与逆定理

3． 角平分线

教学目的：角平分线定理及逆命题的应用

重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用

教学过程

回 忆

我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的 这条性质是怎样得到的呢？

如图19．4．4，OC是AOB的平分线，点P是O C上任意一点，PDOA， PEOB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个 图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．

与 等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有 两个直角三角形 △PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．

于是就有定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

此 定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在 这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．

已知： 如图19．4．5，QDOA ， QEO B， 点D、E为垂足，QD＝QE．

求证： 点Q在AOB的平分线上．

分析： 为了证明 点Q在AOB 的平分线上，

可以作 射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ ，从而得 到AOQ＝BOQ．

于是就有定理：

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明： 三角形三条角平分线交于一点．

从图19．4．6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点， 只需证明其中的两条角 平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．

请你完成证明．

课堂练习：

1． 如图，在直线l上找出一点P，使 得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等．

2 ． 如图 ，已知△ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证： 点F在DAE的平分线上．

课堂小结：总 结一下你所学过的知识