第四章 相似图形

8.相似多边形的性质（二）

一、学生知识状况分析

学生在第一课时已经 学过相似三角形对应高、对应角平分线以及对应中线的判定，对相似三角形的性质已有所了解，之前还学过全等三角形的性质、判定，知道了全等三角形的周长、面积是相等的。而研究相似三角形和全等三角形的性质和判定有许多相 通之处。因此 ，前面所学的内容为本节学习相似多边形周长和面积的性质做好了铺垫。

在相关知识的学习过程中，学生已经历了许多探究活动，如全等三角形的每一个判定、性质的得出都是通过具体的试验，让学生充分的体验并能自己进行总结、探究。学习相似三角形的判定后，特别是学习了测量旗杆的高度等实际问题，就能感受到数学的实际价值。在本节内容的学习过程中，从估算距离和面积这一身边的例子出发，学生 一方面通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处；另一方面运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强对知识的应用意识。

二、教学任务分析

在学生学习全等三角形的判定、性质以及第一课时学习相似三角形的性质的基础上，确定了本次课的学习任务：

1、相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系

2、相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用

3、经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力，合作意识

4、利用相似多边形的性质解决实际问题，训练学生的运用能力

三、教学过程分析

本节课共分七个环节：

第一环节：课前准备；第二环节：情景引入；第三环节：认识新知（二）；第四环节：讨论交流；第五环节：练习提高； 第六环节：课堂小 结；第七环节：布置作业

第一环节：课前准备

活动内容：

收集不同时期宜昌市城区地图（提前两周布置）

活动目的：

（1）通过此活动，希望学生能了解中国改革开放给宜昌带来的深刻变化，比较不同时期地图可以发现城区面积扩大了近一倍，而且在地图上还不断出现一些新的标准性建筑物，从而使学生深刻体会时代的发展和社会制度的优越性。

（2）学生们可根据地图上提供的比例尺相互讨论，计算出感兴趣的距离或面积的大小，如家离学校的距离，宜昌市著名旅游景点葛洲坝与三峡大坝的距离，宜昌市西陵区占地面积占城区面积的比例等问题。

活动效果：

学生们收集不同时期的宜昌市城区地图反映了时代的变迁，社会的进步，在相互讨论的过程中，培养了学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质，以及与他人合作交流的意识；同时使学生对本节课的知识点建立一个初步的印象，学生们带着问题去上课与被动的听课相比效果更好 。

第二环节： 情景引入

活动内容：

让学生们拿出事先准备好的宜昌市地图，根据老师给出的问题进 行分组讨论：

1、地图的比例尺是多少？

2、根据地图所给的数据，你能否计算出火车站离你家大致有多远？

3、你能否估算出宜昌市儿童公园的面积？

活动目的：

在前面我们学习了相似多边形的性质，知道了相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应中线、对应角平分线、对于高的比等于相似比。显然要解决上面的几个问题，我们将继续研究相似多边形的其他性质.

活动效果：

学生们在一个开放的环境下展示、讲解生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程。在交流过程中，学生们已能用自己的语言归纳总结出相似多边形周长和面积的关系，为学习相似多边形性质（2）打下了基础。

第三环节：认识新知（二）

活动内容：

出示投影片1：

在上图中，△ABC∽△ ，相似比为 .

（1）请你写出图中所有成比例的线段.

（2）△ABC与△ 的周长比是多少？你是怎么做的？

（3）△ABC的面积如何表示？△ 的面积呢？△ABC与△ 的面积比是多少？与同伴交流.

解:（1）∵△ABC∽△

= = = = = = .

（2）

∵ = = = .

=

= .

（3）S△ABC= ABCD.

S△ = ABCD.

.

活动目的：

（1） 使学生建立从特殊到一般的思想。

教师提出问题：如果△ABC∽△ ，相似比为k，那么△ABC与△ 的周长比和面积比分别是多少？

教师引导小结：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

（2）进一步提出问题：相似多边形是否也具有类似的性质呢？

出示投影片2：

如图四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.

（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？

（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？

如果相似，它们的相似各是多少？为什么？

（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是 ，那么 各是多少？

（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？

如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？

［生］解：（1）∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2.相似比为k.

=k

（2）△A1B1C1∽△A2B2C2、△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比都为k.

∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2

∵B1=B2.

在△A1B1C1与△A2B2C2中

∵B1=B2.

△A1B1C1∽△A2B2C2.

=k.

同理可知，△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比为k.

（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,△A1C1D1∽△A2C2D2.

（4）

活动效果：

（1）引导学生发现，无论是三角形、四边形，还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：

相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

（2）学生亲历问题发现的过程，对知识从初步的印象上升到了理论探求、证明的高度，今后在记忆和应用上会更加深刻。

第四环节：讨论交流

活动内容：（相似多边形性质2的应用）

出示投影片3：

下图是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000.

（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长 度.

（2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.

图4－46

解：（1）量出图上距离约为20 cm，则实际长度约为20千米.

（2）图上区域围成的面积约为23.7 cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米.

出示投影片4：（及时课堂反馈）

（1）在比例尺为1∶50 00的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是( ).

(A) 1250km (B)125km (C) 12.5km (D)1.25km

（2）已知相似多边形的相似比为9∶4，那么这两个三角形的周长比为( ).

(A) 9∶4 (B) 4∶9 (C) 3∶2 (D)81∶16

3.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为_____

活动目的：

要求学生能用相似多边形的对应周长 和对应面积比的性质来解决生活中的实际问题。

活动效果：

学生在相似多边形性质的证明过程中，对性质已经有了全面的认识，通过上面四个问题的回答，进一步完善了对相似多边形性质的理解和认识。

在解决问题的过程中，学生们分组进行讨论，各抒己见，畅所欲言，体现学生学习的主动性。

第五环节：练习提 高

活动内容：（反映学生掌握知识的深度）

出示投影片5：

思考题：某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图（1），

（1）他们在△AMD和△BMC地带 上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．

（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？

活动目的：

本环节是在掌握相似多边形性质之后的提高，在问题（1）中，运用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△BMC的面积，再把面积转化为所需的费用，考察了学生综合运用知识的能力。如果课内因时间无法做完，可布置学生作为思考题，在课外完成。

活动效果：

可检验学生掌握知识的深度，对本节课的内容进行巩固。

第六环节：课堂小结

活动内容：

师生共同回忆、交流相似多边形的性质：对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，

活动目的：

培养学生的归纳总结能力，加深对知识的理解和应用能力。

活动效果：

学生畅谈自己对相似多边形性质的理解，而且还能运用性质解决生活中的实际问题。

第七环节：布置作业

活动内容：

1、习题4.11

2、根据宜昌市地图计算出你家离学校的路程，滨江公园的面积

四、教学反思

1、尊重学生主体地位

本课以学生的自主探究为主线，引入新课时借助宜昌市地图创设情景，从学生身边的熟悉的例子出发，来激发学生的学习兴趣。在猜想、证明相似三角形和相似多边形的性质时，也遵循学生认知规律，循序渐进，对学生提出的问题，得到的结论充分肯定。同时还加强课内探究，分组讨论等形式，丰富课堂气氛，激发学生们的求知欲望。学生们的主体地位得到了尊重；课后布置思考题，学有余力的学生继续挖掘题 目资源，提高学习效率，培养学生思维的深刻性。

2、注重课后练习的反馈。

相似三角形和相似多边形的性质这一节是初中阶段的一个难点，也是重点，学生能真正的理解和熟练的应用它还需要一个过程，课堂上教师作为知识的传播者只能为学生建立一个框架，要发现和解决所有学生的问题是不可能的。课内要加强变式训练，课外应该注意作业情况，从中可以发现许多新的情况，从而巩固教学成果。

3、需要改进的地方

在与同伴交流和小组讨论之前，教师应注意好自己的角色，做学生学习知识的引路人，留给学生充分的独立思考时间，不要过早的进行归纳总结，也不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应在小组讨论之后给予适当的指导，包括知识的启发引导，学生交流合作中注意的问题和对学困生帮助等，及时归纳总结，使小组合作学习更具有实效性。如果备课的内容无法完成，可布置学生做课外的思考题。