第二章 分解因式

2．提公因式法（二）

总体说明

本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．

学生活动经验基础：学生对于本节课采用的观察、对比、讨论等方法非常熟悉，他们有较好的活动经验．

二、教学 任务分析

学生在初步感知提取公 因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：

知识与技能：

（1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程．

（2）会用提取公因式法进行因式分解．

数学能力：

（1）培养学生的直 觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．

（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．

情感与态度：

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．

三、教学过程分 析

本节课设计了七个教学环节：练一练想一想做一做试一试议一议反馈练习学生反思．

第一环节 练一练

活动内容：把下列各式因式分解：

（1）am+an （2）a2b5ab

（3）m2n+mn2mn （4）2x2y+4xy22xy

活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．

注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的．

第二环节 想一想

活动内容：因式分解：a（x3）+2 b（x3）

活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．

由于题中很显明地表明 ，多项式中的两项都存在着（x3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x3），并能顺利地进行因式分解．

第三环节 做一做

活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“”号，使等式成立：

（1）2a= （a2）

（2）yx= （xy）

（3）b+a= （a+b）

（4）（ba）2= （ab）2[来源:学科网ZXXK]

（5）mn= （m+n）

（6）s2+t2= （s2t2）

活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．

注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；

（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；

（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反 数时，如果指数是奇数，则在 第二个式子前添上“”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．

第四环节 试一试

活动内容：

将下列各式因式分解：

（1）a（xy）+b（yx） （2）3（mn）36（nm）2

活动目的：进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．

（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；

（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．

第五环节 反馈练习

活动内容：

1、 填一填：

（1）3+a= （a+3）

（2）1x= （x1）

（3）（mn）2= （nm）2

（4）m2+2n2= （m22n2）

2、把下 列各式因式分解：

（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3 a（xy）（xy）

（3）6（p+q）212（q+p） （4）a（m2）+b（2m）

（5）2（yx）2+3（xy） （6）mn（mn）m（nm）2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：由于新教材删除了添括号一节的教学，学生对于第1题第（4）小题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．

第六环节 议一议

活动内容：把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式．

活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．

注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式(a－b＋c)．

第七环节 学生反思

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．

注意事项：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式两项式三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公 因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，了解类比等数学思想方法．

巩固练习：课本第52页习题2．3第1，2题．

思考题：课本第53页习题2．3第3题（给学有余力的同学做）．

四、教学反思

对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．

运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的 乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．

教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．