课 题：2.3 立方根

●教学目标

(一)教学知识点

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.

3.了解立方根的性质.

4.区分立方根与平方根的不同.

(二)能力训练要求

1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.

2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.

(三)情感与价值观要求

当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.

●教学重点

立方根的概念.

●教学难点

1.正确理解立方根的概念.

2.会求一个数的立方根.

3.区分立方根与平方根的不同之处.

●教学方法

类比学习法.

●教具准备

投影片两张：

第一张：平方根与立方根的联系与区别(记作2.3 A)；

第二张：补充练习(记作2.3 B).

●教学过程

Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x= .

若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？

Ⅱ.新课讲解

1.［师］请大家先回忆平方根的定义.

［生］若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.

［师］在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.

［生］因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.

［师］当x4=a时，x叫a的什么根呢？

［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.

［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？

［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x= ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x= ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.

［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.

［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x= ，x3=a时，x= 也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？

［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是2，所以立方根的个数不正确.

［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.

开立方的定义

［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.

［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.

(2)立方根的性质

［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？

［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.

［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？

［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.

［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？

［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.

［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.

［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.

(3)平方根与立方根的区别与联系.

［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.

［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.

［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.

［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为 ，立方根表示为 .

［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.

投影片：(2.3 A)

平方根与立方根的联系与区别.

联系：

(1)0的平方根、立方根都有一个是0.

(2)平方根、立方根都是开方的结果.

区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.

(3)表示法不同

正数a的平方根表示为 ，a的立方根表示为 .

(4)被开方数的取值范围不同

中的被开方数a是非负数； 中的被开方数可以是任何数.

2.例题讲解

［例1］求下列各数的立方根：

(1)－27；(2) ；(3)0.216；(4)－5.

解：(1)因为(－3)3=－27，所以－27的立方根是－3，即 =－3；

(2)因为( )3= ，所以 的立方根是 ，即 = ；

(3)因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6；

(4)－5的立方根是 .

［师］请大家思考下列问题.

表示a的立方根，则( )3等于什么？ 等于什么？

大家可以先举例后找规律.

［生］∵23=8， =2，( )3=8；

∵(－2)3=－8，

=－2；( )3=－8；

∵( )3= ，

；

∵(－ )3=－ ，

.

( )3=a.

［师］若x3=a，则x= ，x3=( )3=a.

( )3=a.

又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以 =a.下面就这两个式子进行练习.

［例2］求下列各式的值：

(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3

解：(1) = =－2；

(2) = ；

(3) = ；

(4)( )3=9.

Ⅲ.课堂练习

(一)随堂练习

1.求下列各式的值：

.

解： ；

2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？

解：设正方体的棱长是x厘米，得

x3=833

x3=216

x=6(厘米)

答：这个正方体的棱长是6厘米.

(二)补充练习

投影片：(2.3 B)

1.求下列各数的立方根：

0，1，－ ，6，－ ，0.001

2.求下列各式的值：

3.下列说法对不对？

－4没有立方根；

1的立方根是1；

的立方根是 ；

－5的立方根是－ ；

64的算术平方根是8.

1.解：因为03=0，所以0的立方根为0.

即 =0；

因为13=1，所以1的立方根为1.

即 =1；

因为 的立方根为 .

即 ；

6的立方根为 ；

∵－ 的立方根为－ ，即 ；

∵0.13=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即 =0.1.

2.解： ；

.

3.答案：错.因为负数也有立方根；

错.因为1的立方根是1；

错. 的立方根是 ，平方根是 ；

对.－5的立方根是 ，－ ；

对.

Ⅳ.议一议

1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？

解：设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V= r3得

8r13= r23

8r13=r23

(2r1)3=r23

r2=2r1

即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.

2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？

解：设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得

na3=b3

b= .

即后来的棱长变为原来的 倍.

Ⅴ.课时小结

本节课学了如下内容：

1.立方根的定义.

2.立方根的性质.

3.开立方的定义.

4.平方根与立方根的区别与联系.

5.会求一个数的立方根.

Ⅵ.课后作业

习题2.5.

Ⅶ.活动与探究

1.求下列各式中的x.

(1)8x3+27=0；

(2)(x－1)3－0.343=0；

(3)81(x+1)4=16；

(4)32x5－1=0.

分析：先把每一个式子都化成x3= 的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，

解：(1)由8x3+27=0.8x3=－27

x3= x= ；

(2)由(x－1)3－0.343=0

(x－1)3=0.343

x－1= =0.7

x=1.7；

(3)由81(x+1)4=16

(x+1)4=

x+1=

x= －1x=－ 或x=－ ；

(4)由32x5－1=0

x5=

x= .

2.求满足 +1=x的x的值.

解： =x－1

x－1=－1或x－1=0或x－1=1

x=0或x=1或x=2

3.计算

(1)－ ；

(2) .

解：(1) ；

(2)

=－ .

●板书设计

2.3 立方根

一、(1)立方根开立方的定义

(2)立方根的性质

(3)立方根与平方根的联系与区别

二、例题讲解(求立方根)

三、练习

四、议一议

五、小结

六、作业