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初中数学《运用公式法》教案

2016-10-26 收藏

2.3.1 运用公式法(一)

●课 题

2.3.1 运用公式法(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;

2.使学生掌握用平方差公式分解因式.

3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.

(二)能力训练要求

1.通过对平方差公式特点的辨析,培养学生的观察能力.

2.训练学生对平方差公式的运用能力.

(三)情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中,培养学生逆向思维的意识,同时让学生了解换元的思想方法.

●教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式.

●教学难点

将某些单项式化为平方形式,再用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.

●教学方法

引导自学法

●教具准备

投影片两张

第一张(记作2.3.1 A)

第二张(记作2.3.1 B)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

[师]在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.

如果一个多项式的各项,不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法.

Ⅱ.新课讲解

[师]1.请看乘法公式

(a+b)(a-b)=a2-b2 (1)

左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是

a2-b2=(a+b)(a-b) (2)

左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否是因式分解?

[生]符合因式分解的定义,因此是因式分解.

[师]对,是利用平方差公式进行的因式分解.第(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

2.公式讲解

[师]请大家观察式子a2-b2,找出它的特点.

[生]是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.

[师]如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.

如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4).

9 m 2-4n2=(3 m )2-(2n)2

=(3 m +2n)(3 m -2n)

3.例题讲解

[例1]把下列各式分解因式:

(1)25-16x2;

(2)9a2- b2.

解:(1)25-16x2=52-(4x)2

=(5+4x)(5-4x);

(2)9a2- b2=(3a)2-( b)2

=(3a+ b)(3a- b).

[例2]把下列各式分解因式:

(1)9(m+n)2-(m-n)2;

(2)2x3-8x.

解:(1)9(m +n)2-(m-n)2

=[3(m +n)]2-(m-n)2

=[3(m +n)+(m-n)][3(m +n)-(m-n)]

=(3 m +3n+ m-n)(3 m +3n-m +n)

=(4 m +2n)(2 m +4n)

=4(2 m +n)(m +2n)

(2)2x3-8x=2x(x2-4)

=2x(x+2)(x-2)

说明:例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.

补充例题

投影片(2.3.1 A)

判断下列分解因式是否正确.

(1)(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2.

(2)a4-1=(a2)2-1=(a2+1)(a2-1).

[生]解:(1)不正确.

本题错在对分解因式的概念不清,左边是多项式的形式,右边应是整式乘积的形式,但(1)中还是多项式的形式,因此,最终结果是未对所给多项式进行因式分解.

(2)不正确.

错误原因是因式分解不到底,因为a2-1还能继续分解成(a+1)(a-1).

应为a4-1=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1).

Ⅲ.课堂练习

(一)随堂练习

1.判断正误

解:(1)x2+y2=(x+y)(x-y); ()

(2)x2-y2=(x+y)(x-y); ()

(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y); ()

(4)-x2-y2=-(x+y)(x-y). ()

2.把下列各式分解因式

解:(1)a2b2-m2

=(ab)2-m 2

=(ab+ m)(ab-m);

(2)(m-a)2-(n+b)2

=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]

=(m-a+n+b)(m-a-n-b);

(3)x2-(a+b-c)2

=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]

=(x+a+b-c)(x-a-b+c);

(4)-16x4+81y4

=(9y2)2-(4x2)2

=(9y2+4x2)(9y2-4x2)

=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)

3.解:S剩余=a2-4b2.

当a=3.6,b=0.8时,

S剩余=3.62-40.82=3.62-1.62=5.22=10.4(cm2)

答:剩余部分的面积为10.4 cm2.

(二)补充练习

投影片(2.3.1 B)

把下列各式分解因式

(1)36(x+y)2-49(x-y)2;

(2)(x-1)+b2(1-x);

(3)(x2+x+1)2-1.

解:(1)36(x+y)2-49(x-y)2

=[6(x+y)]2-[7(x-y)]2

=[6(x+y)+7(x-y)][6(x+y)-7(x-y)]

=(6x+6y+7x-7y)(6x+6y-7x+7y)

=(13x-y)(13y-x);

(2)(x-1)+b2(1-x)

=(x-1)-b2(x-1)

=(x-1)(1-b2)

=(x-1)(1+b)(1-b);

(3)(x2+x+1)2-1

=(x2+x+1+1)(x2+x+1-1)

=(x2+x+2)(x2+x)

=x(x+1)(x2+x+2)

Ⅳ.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,则第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.

第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.

Ⅴ.课后作业

习题2.4

1.解:(1)a2-81=(a+9)(a-9);

(2)36-x2=(6+x)(6-x);

(3)1-16b2=1-(4b)2=(1+4b)(1-4b);

(4)m 2-9n2=(m +3n)(m-3n);

(5)0.25q2-121p2

=(0.5q+11p)(0.5q-11p);

(6)169x2-4y2=(13x+2y)(13x-2y);

(7)9a2p2-b2q2

=(3ap+bq)(3ap-bq);

(8) a2-x2y2=( a+xy)( a-xy);

2.解:(1)(m+n)2-n2=(m +n+n)(m +n-n)= m(m +2n);

(2)49(a-b)2-16(a+b)2

=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2

=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]

=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)

=(11a-3b)(3a-11b);

(3)(2x+y)2-(x+2y)2

=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]

=(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y);

(4)(x2+y2)-x2y2

=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy);

(5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4)

=3a(x+y2)(x-y2)

(6)p4-1=(p2+1)(p2-1)

=(p2+1)(p+1)(p-1).

3.解:S环形=R2-(R2-r2)

=(R+r)(R-r)

当R=8.45,r=3.45,=3.14时,

S环形=3.14(8.45+3.45)(8.45-3.45)=3.1411.95=186.83(cm2)

答:两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.

Ⅵ.活动与探究

把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式

解:(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc

=[a+(b+c)][bc+a(b+c)]-abc

=abc+a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2-abc

=a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2

=(b+c)[a2+bc+a(b+c)]

=(b+c)[a2+bc+ab+ac]

=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]

=(b+c)(a+b)(a+c)

●板书设计

2.3.1 运用公式法(一)

一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.

2.公式讲解

3.例题讲解

补充例题

二、课堂练习

1.随堂练习

2.补充练习

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

参考练习

把下列各式分解因式:

(1)49x2-121y2;

(2)-25a2+16b2;

(3)144a2b2-0.81c2;

(4)-36x2+ y2;

(5)(a-b)2-1;

(6)9x2-(2y+z)2;

(7)(2m-n)2-(m-2n)2;

(8)49(2a-3b)2-9(a+b)2.

解:(1)49x2-121y2

=(7x+11y)(7x-11y);

(2)-25a2+16b2=(4b)2-(5a)2

=(4b+5a)(4b-5a);

(3)144a2b2-0.81c2

=(12ab+0.9c)(12ab-0.9c);

(4)-36x2+ y2=( y)2-(6x)2

=( y+6x)( y-6x);

(5)(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1);

(6)9x2-(2y+z)2

=[3x+(2y+z)][3x-(2y+z)]

=(3x+2y+z)(3x-2y-z);

(7)(2m-n)2-(m-2n)2

=[(2 m-n)+(m-2n)][(2 m-n)-(m-2n)]

=(3 m-3n)(m +n)

=3(m-n)(m +n)

(8)49(2a-3b)2-9(a+b)2

=[7(2a-3b)]2-[3(a+b)]2

=[7(2a-3b)+3(a+b)][7(2a-3b)-3(a+b)]

=(14a-21b+3a+3b)(14a-21b-3a-3b)

=(17a-18b)(11a-24b)

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