21.2锐角的三角函数值

一、教法设想：

通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当A=30 A=45 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是 和 ，这是为什么呢？

由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0 sinA 1, cosA 1（A为锐角）.

再分别求出30，45，60特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.

根据30，45，60正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在090间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在090间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.

适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然. 正确处理好修正值.

对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+ cos2A = 1”这一重要关系式.

在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授 这些重要关系式.

在教学中对0，30，45，60，90的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记.

表I：

三角函数 30 45 60

Sin

Cos

tg

口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七.

表II.

三角函数 0 30 45 60 90

Sin

Cos

tg 0

1

──

ctg ──

1

口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢.

第二行左右倒，三，四行靠推导.

【指点迷津】

本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向. 因此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用. 用其法解决生活中的实际问题. 达到得心应手.

二、学海导航：

【思维基础】

1. 锐角三角函数定义

Rt△ABC中，C= 90，AB= c，BC= a，AC= b， 则A的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为A的锐角三角函数. （1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A为锐角时，SinA，CosA均在______~ ______内取值.

2. 特殊角的三角函数值（完成下表）

0 30 45 60 90 增减值

Sin

Cos

tg

ctg

3. 互余角间的三角函数关系，△ABC中，C= 90，A + B = 90，B =90－A，则有：

Sin(90－A) = ___________

Cos(90－A) = ___________

tg (90－A) = ___________

Ctg(90－A) = ___________.

4. 同角三角函数关系公式：（A为锐角）.

（1）Sin2A + Cos2A = ___________; Cos2A = ___________, Sin2A = ____________.

【学法指要】

例1. 如果A为锐角，CosA= ，那么（ ）

A. 0 A B. 30 A

C. 45 A D. 60 A

思路分析：

当角度在0 90间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）.

60 A 应选D

例2. 当45 X 时，有（ ）

A. Sin x Cos x tg x B. tg x Cos x Sin x

C. Cos x Sin x tg x D. tg x Sin x Cos x

思路分析： ∵ 45 x 取A = 60

， tg x Sin x Cos x

应选D

解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x = 60在45 x 的范围内，很快可知Sin 60,Cos 60,tg60的值，谁大谁小，相形见绌. 因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工.

例3. 计算：

思咯分析：若a0时 , a0 = 1

对此项中的Sin36是一项干扰支. 迷惑同学们，因为Sin36，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然. 不需要求Sin36之值，只需要知道 即可. 因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一. 要准确无误代入三角函数值；二. 要按照实数的运算法则进行运算；三. 运算的结果必须是最简关系式. 于是对上式便一目了然了.

例4. 已知方程 的两根为 tg, ctg,求k和，（为锐角）

思路分析：∵tg, ctg为二次方程 的二根，根据与系数关系式，得

∵tg ctg=1 k = 1

原方程为

即tg= , ctg= 或 tg= , ctg =

故1=30 2 = 60

锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tg,ctg之值，再求出对应的之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.

例5. 在△ABC中，三边之比a：b：c = 1： ：2，则SinA + tgA等于（ ）

A. B.

C. D.

思路分析：∵ a：b：c = 1： ：2

可设a = k, b = k , c = 2k ( k 0 )

a2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2

△ABC是直角三角形，且C= 90

根据三角函数定义，可知：

△ABC是直角三角形，且C= 90

根据三角函数定义，可知：

SinA + tg A

应选（A）

对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角 形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.

【思维体操】

例1. 已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：AE= AF.

揭示思路1：设ABC= . 正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a , b

∵AD = AG + DG = atg + a

AD = AH + DH = bCtg+b

a tg + a = b ctg+b

= bctg= AH.

AE = AF

揭示思路2：

设BC = a , 且ABC=，则有

AB = a cos

同理：

AE = AF

由上两种思路证得AE= AF， 可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果. 现沿这思路继续扩散.

扩散一：

如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：EF2 = BEFC

揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.

在Rt△BDE中，

在Rt△GFC中，

∵B + C =90，tgB = tg(90－ C) = ctgC

∵DE = GF = EF

EF2 = BECF

扩散二：

在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN， 过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC = DF + EG

提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散. 设法作AHBC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！

在Rt△EGC中，

EG = b cos

在Rt△DBF中，同理，DF = c cos（设b, c , ,如图）

EG + DF = b Cos + c cos

在 Rt△ABH中，BH = c cos

在 Rt△ACH中，CH = b cos

∵BC = BH + CH , BC = b cos + c cos

BC = EG + DF

扩散三：

设顶角A = 108的等腰三角形的高为h，A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：

揭示思路： 从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.

如图，设△ABC的底边上的高AH = h , A的三等分线AD= P1， A的外角四等线AE = P2，BAC= 108，AB = AC，

DAH = 18

在Rt△ADH中，cos18

∵ CAE = (180－108)= 18

ACB = (180－108)= 36

AEC = 18

在Rt△AHE中，Sin18

扩散四：

已知：如BAC=90，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分别为D、E、F.

求证：

揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.

设ABC = ，则DAF = CDF=

扩散五：

在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC = 20F

揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.

BEF = ACB + EAC = 45BAE

∵BFE= CAE, BEF = BFE,

BE = BF

进而可知AD = DF

设正方表ABCD边长为1，又设BAE = CAE =

则OA= OB =

在Rt△ABE中，BE = ABtg= BF

BF = OB－OF = OB － OAtg

ABtg= OB － OAtg

OF = OAtg= ( －1)

EC= BC－BE = 1－1tg= 1－ +1 = 2 － = ( －1)

EC = 20F

应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.

三、智能显示

【动脑动手】

1. 在Rt△ABC中，C = 90，则SinB + CosB的值（ ）

（A）大于1 （B）小于1

（C）等于1 （D）不确定

2. 在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx + 1 = 0的两个根，求a，b，c及S△ABC

3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）

求证：AA＇ + CC＇=BB＇ + DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）. 从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.

揭示思路：1. 在Rt△ABC中，C= 90

由锐角三角函数定义，得

∵a + b c

SinB + CosB 1 , 应选A.

2. ∵SinC = 1 , C = 90

∵SinA + CosB = ,SinA CosB =

又A + B = 90, B = 90－A

CosB = Cos(90－A ) = SinA

c = 4 , A= 30, a = 2 , b =

3. 猜想如下：

对于中图有：CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇

对于右图有：CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇

证法1. 如图,设AEA＇= ,则AA＇= AESin= (OA－OE)Sin= OASin－OESin，又CC＇= CESin= (OC + OE ) Sin= (OA + OE ) Sin = OASin+ OESin

CC＇－ AA＇= 2OESin

∵OO＇= OESin, CC＇－ AA＇= 2OO＇

由题设知，OO为梯形BBDD的中位线.

BB＇+ DD＇= 2OO＇

CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇

（2）如图，仿（1）证法可得

CC＇－ AA＇= 2OESin

DD＇－BB = 2OFSin

∵OESin= OFSin,

CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇

证法二：（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F， 又设AFA＇= ，则BEB＇= ，在Rt△EBB＇中，

∵BE= CE－ CB

BB＇= BESin－ CBSin

在R t△ECC＇中，Sin= ,

CC= CESin

∵CC＇－ BB＇= BCSin

在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.

AA＇= AFSin, DD＇= DFSin

∵DF= AD － AF

DD＇= ADSin－ AFSinA＇

DD＇= ADSin－ AA＇

DD＇+ AA＇= ADSin

∵AD= BC, CC＇－ BB＇= DD＇+ AA＇

CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇

（2）仿证法（1）同样可证得

CC＇+ BB＇= BCSin

AA＇+ DD＇= ADSin

CC＇+ BB＇= AA＇+DD＇，

CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇

证法三：（1）如图，作DECC＇， 则DD＇C＇E为矩形，CE= CC＇－ DD＇

设AFA＇= ， 则易知CDE= 在Rt△CDE中，

CC＇－ DD＇= CDSin

在Rt△AFA＇中， AA＇= AFSin

在Rt△FBB＇中， BB＇= BFSin

BB＇= (AB－ AF)Sin= ABSin－ AFSin

AA＇+ BB＇= ABSin

∵AB = CD, ∵AA＇+ BB＇= CC＇－ DD＇

CC＇－ AA＇= DD＇+ BB＇

（2）如图，仿（1）同法可证：

CC＇－ AA＇= DD＇－BB＇

【创新园地】

已知△ABC中，BAC= 120，ABC=15，

A，B，C的对边分别为a, b ,c那么a：b：c = _________ （本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.

解法一：过点B作BDAC交CA的延长线于点D.

BAC=120，

ABC= 15, ACB= DBC=45ABD= 30

在Rt△ABD中，Sin30 AD= c

Cos30 ， BD =

b － BD － AD =

a =

a：b：c =

=

解法二：如图，作ADBC， 交BC于D，在AB上取AE = AC， 连CE， 作AFCE，交CE于F，则ACE = AEC= ，BCE= ACB－ 30= 45－ 30 = 15

△BEC为等腰三角形，BE= CE

设AD = CD = 1， 则AC = ， 即b =

CE = 2 AC Cos30

AB= AE + EB = + ， 即c = +

BD =

BC = BD + DC = 3 + ，即a = 3 +

a：b：c = （3+ ）： ：（ + ）

=

解法三：如图，作ADBC, 交BC于D, 在BC上取点E，使BAE = B = 15,那么，连接AE， 得：AEC = 30，AE = BE. 设AD = DC = 1， 则AC = ，即b = ，AE= BE = 2AD = 2，DE = AECos30 =

即c = +

a：b：c = (3+ ) ： ：( + )

=

解法四：如图，BD = x， 则2x2 = a2，

x =

= （参照解法一图）

解法五：

以BC为直径作⊙o， 延长CA交⊙o于在，连BD，设a =2r，则BD = r , AD=

=

解法六：建立如图坐标系，则可求：

解法七：建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则

解法八：建立如图坐标系，设C(－1，0)，B(1，0)，延长CA交Y轴于点D，连结BD，则D点坐标是(0，1) ，那么|BD|= |CD| =

本例还可用面积法证明，如S△CBD= aBD，Sin45 BD2 BD= ……