高三数学章末综合测试题（10）概率

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：

①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；

②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；

③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；

④“取出3只红球”与“取出3只白球”．

其中是对立事件的有()

A．①②　 B．②③　

C．③④　 D．③

D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.

2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是()

A.14 B.13

C.12 D.23

C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12.

3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲 、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是()

A．甲获胜 B．乙获胜

C．甲、乙下成和棋 D．无法得出

C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是 下成和棋.

4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是()

A．1－ B.4

C．1－ D．与a的取值有关

A 解析：几何概型，P＝a2－a22a2＝1－4，故选A.

5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是()

A.16 B.25

C.13 D.23

D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23.

6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是()

A.310 B.112

C.4564 D.38

D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概

率为P＝616＝38.

7 ．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()

A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34

C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14

D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下

雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.

8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()

A.19 B.112

C.115 D.118

D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118.

9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(25，nN)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为()

A．3 B．4

C．2和5 D．3和4

D解析：点P(a，b)的个数共有23＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D.

10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为，则0，2的概率是()

A.512 B.12

C.712 D.56

C 解析：基本事件总数为36，由cos＝ab|a||b|0得a0，即m－n0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2136＝712.

11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ()

A．a＞910 B．a＞109

C．1＜a＜109 D．0＜a＜910

C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.

12．集合A＝{(x，y)|x－y－10，x＋y－10，xN}，集合B＝{(x，y)|y－x＋5，xN}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)B的概率等于 ()

A.14 B.29

C.736 D.536

B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知AB对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)B的概率为836＝29，

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．若实数x，y满足|x|2，|y|1，则任取其中x，y，使x2＋y21的概率为__________．

解析：点(x，y)在由直线x＝2和y＝1围成的矩形上或其内部，使x2＋y21的点(x，

y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝2＝8.

答案：8

14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是

________．

解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十

进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12.

答案：12

15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程

组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________．

1718 解析：由题意，当m2n3，即3m2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，

满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m2n的基本事件数为34个，

故所求概率为P＝3436＝1718.

16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－40，y0，mx－y0)，点P是圆内的

任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最

大，则m＝__________.

0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，

则点P落在平面区域E内的概率最大．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示

分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋)

频数 48 121 208 223 193 165 42

频率[]

(1)将各组的频率填入表中；

(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；

(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．

解析：

分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋)

频数 48 121 208 223 193 165 42

频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042

(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，

所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.

(3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.

150.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管．

18．(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸 取一个球．

(1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．

解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：

(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、

(黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑)．

(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，

事件A包含的基本事件为：

(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)．

事件A包含的基本事件数为3.

由(1)可知，基本事件总数为8，

所以事件A的概率为P(A)＝38.

19．(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi.

(1)求事件“z－3i为实数”的概率；

(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b29”的概率．

解析：(1)z－3i为实数，

即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，b＝3.

又b可取1,2,3,4,5,6，故出现b＝3的概率为16.

即事件“z－3i为实数”的概率为16.

(2)由已知，b的值只能取1,2,3.

当b＝1时，(a－2)28，即a可取1,2,3,4；

当b＝2时，(a－2)25，即a可取1,2,3,4；

当b＝3时，(a－2)20，即a可取2.

综上可知，共有9种情况可使事件成立．

又a，b的取值情况共有36种，

所以事件“点(a，b)满足(a－2 )2＋b29”的概率为14.

20．(12分)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是心理治疗专家．

(1)求A1恰被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

解析：(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18个基本事件．

用M表示“A1恰被选中 ”这一事件，则

M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本事件．

所以P(M)＝618＝13.

(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则 其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件，

由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，

所以P(N)＝318＝16，

由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.

21．(12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b0.

(1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，

(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．

其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

P(A)＝912＝34.

(2)试验的全部结果所构成的区域为

{(a，b)|－4－1,13}，构成事件A的区域为{(a，b)|－4－1,13，a＋b0}，

所求概率为这两区域面积的比．

所以所求的概率P＝32－122232＝23.

22．(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．

(1)共有多少种安排方法？

(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？

(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？

解析：(1)安排情况如下：

甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12种安排方法．

(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为

P(A)＝212＝16.

(3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16”．

甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.

方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1012＝56.