：5.3实数与向量的积综合练习

目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)

2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）

3．向量共线的充要条件

4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）

1．当Z时，验证：( + )= +

证：当=0时，左边=0( + )= 右边=0 +0 = 分配律成立

当为正整数时，令=n, 则有：

n( + )=( + )+( + )+…+( + )

= + +…+ + + + +…+ =n +n

即为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令=n（n为正整数），有

n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n

分配律仍成立

综上所述，当为整数时，( + )= + 恒成立 。

2．如图，在△ABC中， = , = AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量

解一：∵ = , = 则 = =

= + = + 而 =

= +

解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F

∵△AEF∽△ABC

= = = =

= =

= + = +

3．在 ABCD中，设对角线 = ， = 试用 , 表示 ，

解一： = = = =

= + = =

= + = + = +

解二：设 = ， =

则 + = + = = ( )

= = = ( + )

即： = ( ) = ( + )

4．设 , 是两个不共线向量，已知 =2 +k , = +3 , =2 , 若三点A, B, D共线，求k的值。

解： = =(2 )( +3 )= 4

∵A, B, D共线 , 共线 存在使 =

即2 +k =( 4 ) k=8

5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设 = , = ，试以 , 为基底表示 , ,

解： = = 连ND 则DC╩ND

= = =

又： = =

= = =

=( + ) =

6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30

= cos60=1 =0.5 (kg)

= cos30=1 =0.87 (kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg