对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。

一、点关于已知点或已知直线对称点问题

1、设点P（x，y）关于点（a，b）对称点为P（x，y），

x=2a-x

由中点坐标公式可得：y=2b-y

2、点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为

x=x-（Ax+By+C）

P（x，y）则

y=y-（AX+BY+C）

事实上：∵PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C

解此方程组可得结论。

（-）=-1（B0）

特别地，点P（x，y）关于

1、x轴和y轴的对称点分别为（x，-y）和（-x，y）

2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a-x，y）和（x，2a-y）

3、直线y=x和y=-x的对称点分别为（y，x）和（-y，-x）

例1光线从A（3，4）发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B（1，5），求射入y轴后的反射线所在的直线方程。

解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点

A（5，0），B关于y轴对称点B为（-1，5），直线AB的方程为5x+6y-25=0

｀C（0，）

｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0

二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题

求已知曲线F（x，y）=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F（x，y）=O上任意一点（x，y）关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F（x，y）=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。

1、曲线F（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线的方程是F（2a-x，2b-y）=0

2、曲线F（x，y）=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F（x-（Ax+By+C），y-（Ax+By+C））=0

特别地，曲线F（x，y）=0关于

（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，-y）和F（-x，y）=0

（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F（2a-x，y）=0和F（x，2a-y）=0

（3）关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0

除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。

例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：

1）写出曲线C1的方程

2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称。

（1）解知C1的方程为y=（x-t）3-（x-t）+s

（2）证明在曲线C上任取一点B（a，b），设B1（a1，b1）是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：

s-b1=（t-a1）3-（t-a1）

｀b1=（a1-t）3-（a1-t）+s

｀B1（a1，b1）满足C1的方程

｀B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上

｀曲线C和C1关于a对称

我们用前面的结论来证：点P（x，y）关于A的对称点为P1（t-x，s-y），为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=（t-x）3-（t-x）

｀y=（x-t）3-（x-t）+s

此即为C1的方程，｀C关于A的对称曲线即为C1。

三、曲线本身的对称问题

曲线F（x，y）=0为（中心或轴）对称曲线的充要条件是曲线F（x，y）=0上任意一点P（x，y）（关于对称中心或对称轴）的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。

例如抛物线y2=-8x上任一点p（x，y）与x轴即y=0的对称点p（x，-y），其坐标也满足方程y2=-8x，｀y2=-8x关于x轴对称。

例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：

A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称

C、关于原点对称D、关于直线x-y=0对称

解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得

（-x）（-y）2-（-x）2（-y）=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变

｀曲线关于原点对称。

函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：

1、函数f（x）定义线为R，a为常数，若对任意xR，均有f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图象关于x=a对称。

这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。

例如对于f（x）若tR均有f（2+t）=f（2-t）则f（x）图象关于x=2对称。若将条件改为f（1+t）=f（3-t）或f（t）=f（4-t）结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f（2+m）=f（2-m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2-m），所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：

2、函数f（x）定义域为R，a、b为常数，若对任意xR均有f（a+x）=f（b-x），则其图象关于直线x=对称。

我们再来探讨以下问题：若将条件改为f（2+t）=-f（2-t）结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f（t）=-f（t）这是奇函数，图象关于（0，0）成中心对称，现在是f（2+t）=-f（2-t）造成了平移，由此我们猜想，图象关于M（2，0）成中心对称。如图，取点A（2+t，f（2+t））其关于M（2，0）的对称点为A（2-x，-f（2+x））

∵-f（2+X）=f（2-x）｀A的坐标为（2-x，f（2-x））显然在图象上

｀图象关于M（2，0）成中心对称。

若将条件改为f（x）=-f（4-x）结论一样，推广至一般可得以下重要结论：

3、f（X）定义域为R，a、b为常数，若对任意xR均有f（a+x）=-f（b-x），则其图象关于点M（，0）成中心对称。