2016-10-25 收藏
近几年来,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中,这类问题不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法:
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。
例1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)
求证:-a2-b2aa2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2x2+x1y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22)
令y=0得x0=x1+x22a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点
-aa,-aa,x1x2以及-ax1+x22a
-a2-b2aa2-b2a
例2如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若122,求向量OF与FQ的夹角的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题。
解:依题意有
tan=2S
∵1221tan4
又∵0
4
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ||a|,则a的取值范围是
Aa2C02D0p
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ||a|求解.
解:设Q(y024,y0)由|PQ|a
得y02+(y024-a)2a2即y02(y02+16-8a)0
∵y020(y02+16-8a)0即a2+y028恒成立
又∵y020
而2+y028最小值为2a2选(B)
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解。
例4设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是
A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△0
解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y=k(x+2)
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0
∵直线L与抛物线有公共点
△0即k21解得-11故选(C)
例5直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B,求实数k的取值范围。
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。
解:由得(k2-2)x2+2kx+2=0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则
解得-2p
三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式
曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)若P在曲线外,则f(x0,y0)可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题。
例6已知椭圆2x2+y2=a2(a0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围。
分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件。
解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内,则
解得a17
当A、B同时在椭圆外,则
解得0p
综上所述,解得06或a17
例7若抛物线y2=4mx(m0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部,求实数m的取值范围。
分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.
解:∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部,
(m-2m)2+(0-1)24即m23
又∵m0
-30或0p
四、利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,求实数a的取值范围。
分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。
解:设椭圆的参数方程为(为参数)
代入x2=2y得
4cos2=2(a+sin)
a=2cos2-sin=-2(sin+14)2+178
又∵-1sin1,-1178
例9已知圆C:x2+(y-1)2=1上的点P(m,n),使得不等式m+n+c0恒成立,求实数c的取值范围
分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围。
解:∵点P在圆上,m=cos,n=1+sin(为参数)
∵m+n=cos+1+sin=2sin(4)+1
m+n最小值为1-2,
-(m+n)最大值为2-1
又∵要使得不等式c-(m+n)恒成立
c2-1
五、利用离心率构造不等式
我们知道,椭圆离心率e(0,1),抛物线离心率e=1,双曲线离心率e1,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。
例10已知双曲线x2-3y2=3的右焦点为F,右准线为L,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心,求实数k的取值范围.
分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率01,建立相关不等式关系求解.
解:依题意得F的坐标为(2,0),L:x=32
设椭圆中心为(m,0),则m-2=c和m-32=a2c
两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2
∵01,01,解得m2,
又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上,
0=km+3,即m=-3k,
-3k2,解得-32p
上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法,希望通过以上的介绍,能让同学们了解这类问题的常用求法,并能认真体会、理解掌握,在以后的学习过程中能够灵活运用。
27.3.3实践与探索课件ppt福建省泉港三川中学九年级下
泉州市泉港三川中学九年级下30.2亲自调查作决策课件
泉港三川中学九年级下28.3.2圆柱和圆锥的侧面展开图课件
圆和圆的位置关系课件(华师大版九年级下)
直线与圆的位置关系课件华师大版九年级下
福建省泉港三川中学九年级下27.1.1二次函数课件ppt
借助媒体作决策课件ppt泉港三川中学九年级下
27.3求二次函数的函数关系式课件ppt华师大版九年级下
29.2反证法课件(华师大版九年级下)主讲:孙仁道
30.3借助调查作决策课件华师大版九年级下
泉港三川中学九年级下27.2.1二次函数的图象及性质课件
28.1.2圆的对称性课件ppt福建省泉港三川中学九年级下
直线与圆的位置关系课件ppt福建省泉港三川中学九年级下
泉港三川中学九年级下27.2.5求二次函数的函数关系式课件
华师大版九年级下第27单元二次函数复习课件(复习+讲练)
圆的认识课件华师大版九年级下
泉港三川中学九年级下第28章《圆》知识点复习课件
27.2二次函数的图象与性质课件华师大九年级下
泉港三川中学九年级下30.3借助调查作决策课件(2)
反证法课件华师大版九年级下(作者:杨兵)
《圆》知识点复习课件ppt(华师大版九年级下)
二次函数与一元二次方程课件ppt华师大版九年级下
圆周角定理及推论练习题课件华师大版九年级下
二次函数的概念课件ppt(华师大版九年级下)
28.3.2圆柱和圆锥的侧面展开图课件华师大版九年级下
27.3.5实践与探索课件ppt福建省泉港三川中学九年级下
福建省泉港三川中学九年级下27.1二次函数课件ppt
27.3.1实践与探索课件ppt福建省泉港三川中学九年级下
28.2圆与圆的位置关系课件华师大版九年级下
二次函数应用(一)求最值课件ppt华师大版九年级下
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