蚌埠市2015初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（40分）

1．抛物线y=﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）

A． （1，2） B． （1，﹣2） C． （﹣1，2） D． （﹣1，﹣2）

2．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）

A． y=（60+2x）（40+2x） B． y=（60+x）（40+x） C． y=（60+2x）（40+x） D． y=（60+x）（40+2x）

3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）

A． I= B． I= C． I= D． I=

4．已知△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，则（）

A． △A1B1C1与△A2B2C2全等

B． △A1B1C1与△A2B2C2位似

C． △A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似

D． △A1B1C1与△A2B2C2不相似

5．△ABC中，已知∠A=30°，AB=2，AC=4，则△ABC的面积是（）

A． 4 B． 4 C． 2 D． 2

6．下列说法正确的是（）

A． 对应边都成比例的多边形相似

B． 对应角都相等的多边形相似

C． 边数相同的正多边形相似

D． 矩形都相似

7．如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）

A． B． C． D．

8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：

①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．

其中正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 1个

10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q

二、填空题

11．直角坐标系中，已知点A（﹣1，2）、点B（5，4），x轴上一点P（x，0）满足PA+PB最短，则x=．

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的对应值如下表：

x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3

y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6

则使y＜0的x的取值范围是．

13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC＞BC），AB=5，则tanB=．

14．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．

三、解答题

15．如图，已知格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形），请在图中画出△ABC相似的格点△A1B1C1，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于3．

16．给定抛物线： ．

（1）试写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）画出抛物线的图象．

17．身高1.6米的安心同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量学校旗杆的高度．但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上（如图）．她先测得留在墙上的影子CD=1.2米，又测地面部分的影长BC=3.5米，你能根据上述数据帮安心同学测出旗杆的高度吗？

18．小明的笔记本上有一道二次函数的问题：“抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（c，0）且不过原点，…，求证：这个抛物线的对称轴为直线x=3”；题中省略号部分是一段被墨水污没了的内容，无法辨认其中的文字．

（1）根据现有信息，你能否求出此二次函数的解析式？若能，请求出；若不能，请说明理由；

（2）请你把这道题补充完整．

19．为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．

下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：

行驶速度（千米/时） 40 60 80 …

停止距离（米） 16 30 48 …

（1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数，给出以下三个函数：①y=ax+b；②y= （k≠0）；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；

（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．

20．如图，已知直线y= x与双曲线 交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线 上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线 于P，Q两点（P点在第一象限），若由点 A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

21．拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，右图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm，BC为30cm，点A到地面的距离AE为4cm，旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离．

22．某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．

（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

23．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）

（1）△ABC中边BC上高AD=；

（2）当x=时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；

（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

蚌埠市2015初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及试题解析

一、选择题（40分）

1．抛物线y=﹣3（x﹣1）2+ 2的顶点坐标是（）

A． （1，2） B． （1，﹣2） C． （﹣1，2） D． （﹣1，﹣2）

考点： 二次函数的性质；二次函数的三种形式．

分析： 直接根据顶点公式的特点求顶点坐标．

解答： 解：∵y=﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，

∴顶点坐标为（1，2）．

故选A．

点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．通常有两种方法：

（1）公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（ ， ），对称轴是x= ；

（2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

2．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）

A． y=（60+2x）（40+2x） B． y=（60+x）（40+x） C． y=（60+2x）（40+x） D． y=（60+x）（40+2x）

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 挂图的面积=长×宽=（ 60+2x）（40+2x）．

解答： 解：长是：60+2x，宽是：40+2x，

由矩形的面积公式得

则y=（60+2x）（40+2x）．

故选A．

点评： 根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．

3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）

A． I= B． I= C． I= D． I=

考点： 根据实际问题列反比例函数关系式．

专题： 跨学科．

分析： 观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （k≠0）即可求得k的值．

解答： 解：设反比例函数的解析式为 （k≠0），

由图象可知，函数经过点B（3，2），

∴2= ，得k=6，

∴反比例函数解析式为y= ．

即用电阻R表示电流I的函数解析式为I= ．

故选D．

点评： 用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．

4．已知△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，则（）

A． △A1B1C1与△A2B2C2全等

B． △A1B1C1与△A2B2C2位似

C． △A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似

D． △A1B1C1与△A2B2C2不相似

考点： 位似变换．

分析： △ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，位似是特殊的相似，位似的两个图形一定形状相同，因而△A1B1C1与△A2B2C2相似，而△ABC与△A1B1C1的位似中心与，△ABC与△A2B2C2的位似不一定是同一个点，因而△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似．

解答： 解：∵△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似

∴△A1B1C1与△A2B2C2相似；△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似．

故选C．

点评： 本题主要考查了位似的定义，位似是特殊的相似，特殊点是除满足相似的性质外，还满足特殊的位置关系．

5．△ABC中，已知∠A=30°，AB=2，AC=4，则△ABC的面积是（）

A． 4 B． 4 C． 2 D． 2

考点： 解直角三角形．

专题： 计算题．

分析： 根据面积公式S= absinC，代入数值可将△ABC的面积求解出来．

解答： 解：在△ABC中，∵∠A=30°，AB=2，AC=4，

∴S△ABC= AB×AC×sin∠A= ×4×2× =2．

故选D．

点评： 此题考查三角形的面积公式S= absinC．

6．下列说法正确的是（）

A． 对应边都成比例的多边形相似

B． 对应角都相等的多边形相似

C． 边数相同的正多边形相似

D． 矩形都相似

考点： 相似图形．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．

解答： 解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；

B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；

C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；

D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误．

故选C．

点评： 本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．

7．如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）

A． B． C． D．

考点： 解直角三角形；平行四边形的性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 作出辅助线，构造直角三角形，运用三角形面积相等，求出三角形的高，然后运用sin2α+cos2α=1，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，由角的余弦值与三角形边的关系求解．

解答： 解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．

设DF=x，则AD=2x，

∵∠ADB=60°，

∴AF= x，

又∵AB：AD=3：2，

∴AB=3x，于是BF= x，

∴3x?DE=（ +1）x? x，

DE= x，sin∠A= ，

cos∠A= = ．

故选A．

点评： 考查三角函数的定义及三角形面积公式．

8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：

①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．

其中正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣ ＞﹣1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．

解答： 解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣ ＞﹣1，且c＞0．

①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；

②已知x=﹣ ＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确 ；

③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；

联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；

故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确；

④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即： ＞2，

由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；

因此正确的结论是①②③④．

故选D．

点评： 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．

9．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 1个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题；函数思想．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0；

故本选项正确；

（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，

∴c＜1；

故本选项错误；

（3）由图示，知

对称轴x=﹣ ＞﹣1；

又函数图象的开口方向向下，

∴a＜0，

∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，

故本选项正确；

（4）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，

∴a+b+c＜0；

故本选项正确；

综上所述，我认为其中错误的是（2），共有1个；

故选D．

点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 应用题；压轴题．

分析： 分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．

解答： 解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；

B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；

C、 ，

假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；

D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；

故选：D．

点评： 此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．

二、填空题

11．直角坐标系中，已知点A（﹣1，2）、点B（5，4），x轴上一点P（x，0）满足PA+PB最短，则x=1．

考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

专题： 待定系数法．

分析： 先画出直角坐标系，标出A、B点的坐标，再求出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B ，交x轴于点P，则P即为所求点，用待定系数法求出过A′B两点的直线解析式，求出此解析式与x轴的交点坐标即可．

解答： 解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，设过A′B的直线解析式为y=kx+b（k≠0），

则 ，

解得 ，

故此直线的解析式 为：y=x﹣1，

当y=0时，x=1．

故答案为：1．

点评： 本题考查的是最短线路问题及用待定系数法求一次函数的解析式，熟知轴对称的性质及一次函数的相关知识是解答此题的关键．

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的对应值如下表：

x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3

y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6

则使y＜0的x的取值范围是﹣3＜x＜2．

考点： 二次函数与不等式（组）．

分析： 根据图表信息判断出二次函数图象开口向下，然后写出函数值小于0的x的取值范围即可．

解答： 解：由表可知，抛物线开口向下，

∵x=﹣3，x=2时，y=0，

∴使y＜0的x的取值范围是﹣3＜x＜2．

故答案为：﹣3＜x＜2．

点评： 本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质并准确识别数据信息是解题的关键．

13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC＞BC），AB=5，则tanB= ．

考点： 勾股定理；锐角三角函数的定义．

分析： 由勾股定理及AC+BC=7可求出AC、BC的值，根据三角函数定义求解．

解答： 解：∵△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7，

∴AC=7﹣BC．

∵AB2=AC2+BC2

∴25=（7﹣BC）2+BC2

∴BC=3或BC=4．

∵AC＞BC，

∴BC=3，AC=4．tanB= ．

点评： 本题需仔细分析图形，利用勾股定理结合方程即可解决问题．

14．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为22.5米．

考点： 相似三角形的应用．

分析： 根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．

解答： 解：如图，设河宽为h，

∵AB∥CD

由平行线分线段成比例定理得： = ，

解得：h=22.5，

∴河宽为22.5米．

故答案为：22.5．

点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

三、解答题

15．如图，已知格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形），请在图中画出△ABC相似的格点△A1B1C1，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于3．

考点： 作图—相似变换．

专题： 作图题；网格型．

分析： 利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都放大到原来的3倍，得到新三角形．当然也可以缩小到原来3倍．

解答： 解：

点评： 本题主要考查了相似三角形的画法，注意做这类题时的关键是对应边相似比相等，对应角 相等．

16．给定抛物线： ．

（1）试写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2） 画出抛物线的图象．

考点： 二次函数的性质；二次函数的图象．

分析： （1）此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出顶点的坐标；

（2）用描点法画图象．

解答： 解：（1）y= x2+2x+1

= （x2+4x+4﹣4）+1

= （x+2）2﹣1

∵a＞0，

∴抛物线的开口方向向上，

对称轴x=﹣2，顶点坐标（﹣2，﹣1）；

（2）如图，

x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …

y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 …

图象为 ．

点评： 考查抛物线的性质以及求顶点坐标、对称轴的方法．

17．身高1.6米的安心同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量学校旗杆的高度．但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上（如图）．她先测得留在墙上的影子CD=1.2米，又测地面部分的影长BC=3.5米，你能根据上述数据帮安心同学测出旗杆的高度吗？

考点： 相似三角形的应用．

专题： 应用题；转化思想．

分析： 此题是实际应用题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答，此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．

解答： 解：过点C作CE∥AD交AB于点E，

∵AE∥CD，EC∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AE=CD=1.2米，

又在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，

∴ ，

即BE=3.5× =4．

∴AB=AE+EB=1.2+4=5.2米．

点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆AB的高度．

18．小明的笔记本上有一道二次函数的问题：“抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（c，0）且不过原点，…，求证：这个抛物线的对称轴为直线x=3”；题中省略号部分是一段被墨水污没了的内容，无法辨认其中的文字．

（1）根据现有信息，你能否求出此二次函数的解析式？若能，请求出；若不能，请说明理由；

（2）请你把这道题补充完整．

考点： 二次函数的性质．

专题： 开放型．

分析： （1）不能唯一确定这个二次函数解析式，因为抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（c，0）且不过原点，所以c2+bc+c=0，c≠0，即得b+c+1=0，再没有其他信息确定，所以不能；

（2）因为这个抛物线的对称轴为直线x=3，所以﹣ =3．由此可以确定a、b、c之间的关系．可以补充能够确定c的条件即可．

解答： 解：（1）既然结论正确，

就可由 ，若a=1，则b=﹣6，

∴y=x2﹣6x+c，

即y=（x﹣3）2+c﹣9，

∵图象不经过原点，

所以c≠9，因此根据现有信息要唯一确定这个二次函数解析式是不行的；

（2）可以补充条件：①抛物线与x轴的交点坐标为B（1，0）和C（5，0）；

②抛物线经过点（4，2）并且有最小值1．（答案不唯一）

点评： 此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．

19．为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．

下表是某款车在平坦道路上路况 良好时刹车后的停止距离与汽车行驶 速度的对应值表：

行驶速度（千米/时） 40 60 80 …

停止距离（米） 16 30 48 …

（1）设汽车刹车后的停止距离y（米）是关于汽车行驶速度x（千米/时）的函数，给出以下三个函数：①y=ax+b；②y= （k≠0）；③y=ax2+bx，请选择恰当的函数来描述停止距离y（米）与汽车行驶速度x（千米/时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；

（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．

考点： 二次函数的应用；反比例函数的应用．

专题： 计算题．

分析： （1）分情况讨论，y和x是一次函数或反比例或二次函数，所以有三种情况，再根据题已知数据，由待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数及正比例函数的性质，描述其增减性，从而求解．

（2）根据第一问求得的解析式，把y=70代入解析式，解一元二次方程，求出方程的根，从而求出自变量的值．

解答： 解：（1）若选择y=ax+b，把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得，

16=40a+b，30=60a+b，

解得a=0.7，b=﹣12，

而把x=80代入y=0.7x﹣12得y=44＜48，

所以选择y=ax+b不恰当；

若选择y= （k≠0），由x，y对应值表看出y随x的增大而增大，

而y= （k≠0）在第一象限y随x的增大而减小，所以不恰当；

若选择y=ax2+bx，把x=40，y=16与x=60，y=30分别代入得，

16=1600a+40b，30=3600a+60b，

解得，a=0.005，b=0.2，

而把x=80代入y=0.005x2+0.2x得y=48成立，

所以选择y=ax2+bx恰当，

解析式为y=0.005x2+0.2x．

（2）把y=70代入y=0.005x2+0.2x得70=0.005x2+0.2x，

即x2+40x﹣14000=0，

解得x=100或x=﹣140（舍去），

所以，当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米/时．

点评： 此题二次函数的性质及应用，还考查反比例函数的增减性，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象函数中，即可解答．

20．如图，已知直线y= x与双曲线 交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线 上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线 于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

考点： 反比例函数综合题．

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；

（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；

（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

解答： 解：（1）∵点A横坐标为4，

把x=4代入y= x中

得y=2，

∴A（4，2），

∵点A是直线y= x与双曲线y= （k＞0）的交点，

∴k=4×2=8；

（2）解法一：如图，

∵点C在双曲线上，

当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．

∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．

∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；

解法二：如图，

过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线 上，

当y=8时，x=1，

∴点 C的坐标为（1，8）．

∵点C、A都在双曲线 上，

∴S△COE=S△AOF=4，

∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．

∴S△COA=S梯形CEFA．

∵S梯形CEFA= ×（2+8）×3=15，

∴S△COA=15；

（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四边形APBQ是平行四边形，

∴S△POA=S平行四边形APBQ× = ×24=6，

设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），

得P（m， ），

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点P、A在双曲线上，

∴S△POE=S△AOF=4，

若0＜m＜4，如图，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴ （2+ ）?（4﹣m）=6．

∴m1=2，m2=﹣8（舍去），

∴P（2，4）；

若m＞4，如图，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴ （2+ ）?（m﹣4）=6，

解得m1=8，m2=﹣2（舍去），

∴P（8，1）．

∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．

点评： 本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．

21．拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，右图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm，BC为30cm，点A到地面的距离AE为4cm，旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离．

考点： 解直角三角形的应用．

分析： 如图，过点B、A分别作地面的平行线a、b．过C作CM⊥a于点M，过点B作BN⊥b于点N．在直角△BCM、△ABN中利用三角函数分别求得CM、BN的长，则点C到地面的高度是：CM+BN+AE．

解答： 解：如图，过点B、A分别作地面的平行线a、b．过C作CM⊥a于点M，过点B作BN⊥b于点N．

在直角△ABN中，AB=50cm，∠BAN=60°，则BN=AB?sin60°=25 cm．

在直角△BCM中，易求∠CBM=30°，则CM= BC=15cm．

所以，点C到地面的高度是：CM+BN+AE=15+25 +4=19+25 （cm）．

答：箱体的最高点C到地面的距离是（19+25 ）cm．

点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

22．某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．

（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

考点： 二次函数的应用．

专题： 压轴题．

分析： （1）已知原每天利润为130﹣100，每星期可卖出80件，则（130﹣100）×80=2400元．

（2）设将售价定为x元，则销售利润为y=（x﹣100）（80+ ×20）=﹣4（x﹣125）2+2500，故可求出y的最大值．

解答： 解：（1）（130﹣100）×80=2400（元）；

∴商家降价前每星期的销售利润为2400元；

（2）设应将售价定为x元，

则销售利润y=（x﹣100）（80+ ×20）

=﹣4x2+1000x﹣60000=﹣4（x﹣125）2+2500．

当x=125时，y有最大值2500．

∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元．

点评： 本题考查的是二次函数的应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

23．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）

（1）△ABC中边BC上高AD=4；

（2）当x=2.4时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；

（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

考点： 二次函数综合题；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

专题： 压轴题．

分析： （1）本题利用矩形的性质和相似三角形的性质，根据MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中边BC上高AD的长度．

（2）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式，

（3）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式．

解答： 解：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；

（2）当PQ恰好落在边BC上时，

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴ ，

即 = ，x=2.4（或 ）；

（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．

设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h，AG=4﹣h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即 ，

∴ ．

∴y=MN?NF=x（﹣ x+4）=﹣ x2+4x（2.4＜x＜6），

配方得：y=﹣ （x﹣3）2+6．

∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．

点评： 本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度．