2015初三年级数学上学期期中综合试卷(含答案解析)

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.

1．如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是（）

A． 152° B． 76° C． 38° D． 36°

2．已知 = ，那么下列各等式一定成立的是（）

A． = B． = C． = D． =

3．将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）

A． y=2（x+3）2+2 B． y=2（x+3）2﹣2 C． y=2（x﹣3）2+2 D． y=2（x﹣3）2﹣2

4．从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是（）

A． 必然事件 B． 随机事件 C． 不可能事件 D． 很可能事件

5．已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）

A． 60°＜α＜90° B． 30°＜α＜90° C． 0°＜α＜60° D． 0°＜α＜30°

6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为（）

A． 4 B． 8 C． 8 D． 16

7．下列各组中的两个图形，一定相似的是（）

A． 有一个角对应相等的两个菱形

B． 对应边成比例的两个多边形

C． 两条对角线对应成比例的两个平行四边形

D． 任意两个矩形

8．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1．点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是（）

A． B． 1 C． D．

9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=（）

A． 1：5 B． 1：9 C． 1：10 D． 1：12

10．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）

①abc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，且x1+x2＜0； ⑤9a+3b+c＞0；⑥当x＜1时，y随x增大而减小．

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于．

12．如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则∠ABE的度数为．

13．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为．

14．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为．

15．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为．

16．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．

1）求比例式4：3=5：x中x的值．

（2）计算：cos245°+tan60°?sin60°．

18．由地面上A点测得山顶电视塔顶点B和电视塔基地C点的仰角分别为60°和30°，已知山顶C到地平面的垂直高度为50米．求电视塔高BC．

19．如图，在△PAB中，C，D分别为AP，BP上的点，若 = = ，AB=8cm，求CD的长．

20．某校九年级有12个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书的阅读量情况，准备从这12个班中抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．

（1）下列四种抽取方法：①随机抽取一个班的学生；②从这12个班中随机抽取50名学生；③随机抽取50名男生；④随机抽取50名女生，其中最具有代表性的是哪一种？

（2）由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读书的本数数据如下：

阅读本数n 0 2 4 5 6 8 10 12 14 16

人数 1 1 2 3 12 11 5 8 5 2

根据以上数据回答下列问题：

①求样本中优秀读者的频率；

②估计该校九年级优秀读者的人数；

③在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．

21．如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD= ∠C．

（1）求证：AB是⊙C的切线；

（2）求△DAB的面积．

22．随着城市高楼的增加，高楼火灾越来越受重视，今年11月9日消防日来临前，某区消防中队开展技能比赛．考官在一废弃高楼距地面10米的M处和正上方距地面13米的N处各设置了一个火源．随后消防甲队出场，来到火源的正前方，估计高度后，消防员站在A处，拿着水枪距地面一定高度C处喷出水，只见水流划过一道漂亮的抛物线，准确的落在M处，待M处火熄灭后，消防员不慌不忙，没有做任何调整，只向着楼房移动到B处，只见水流又刚好落在N处．随后的录像资料显示第一次水流在距离楼房水平距离为2米的地方达到最大高度，且距离地面14米（图中P点）．

（1）根据图中建立的平面直角坐标系（x轴在地面上），写出P，M，N的坐标；

（2）求出上述坐标系中水流CPM所在抛物线的函数表达式；

（3）请求出消防员移动的距离AB的长．

23．如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤1.5）．以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ．

（1）当t为何值时⊙O和直线BC相切；

（2）若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围；

（3）设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值．

2015初三年级数学上学期期中综合试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.

1．如图，已知圆心角∠BOC=76°，则圆周角∠BAC的度数是（）

A． 152° B． 76° C． 38° D． 36°

考点： 圆周角定理．

分析： 直接根据圆周角定理进行解答即可．

解答： 解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=76°，

∴∠BAC= ∠BOC= ×76°=38°．

故选C．

点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

2．已知 = ，那么下列各等式一定成立的是（）

A． = B． = C． = D． =

考点： 比例的性质．

分析： 根据比例的性质，可得ad=bc，再根据等式的性质，可得答案．

解答： 解：由比例的性质，得

ad=bc．

由等式的性质，得

= ，故B正确；

故选：B．

点评： 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．

3．将抛物线y=2x2先向上平移两个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）

A． y=2（x+3）2+2 B． y=2（x+3）2﹣2 C． y=2（x﹣3）2+2 D． y=2（x﹣3）2﹣2

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．

解答： 解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（3，2），

所以平移后抛物线的解析式为y=2（x﹣3）2+2．

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

4．从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情是（）

A． 必然事件 B． 随机事件 C． 不可能事件 D． 很可能事件

考点： 随机事件．

分析： 根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断．

解答： 解：从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，是必然事件，故选A．

点评： 本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5．已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）

A． 60°＜α＜90° B． 30°＜α＜90° C． 0°＜α＜60° D． 0°＜α＜30°

考点： 锐角三角函数的增减性．

分析： 根据锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．

解答： 解：由sinα=0.5，得α=30°，

由锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，得

0°＜α＜30°，

故选：D．

点评： 本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大．

6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为（）

A． 4 B． 8 C． 8 D． 16

考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

分析： 根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC=4 ，然后利用CD=2CE进行计算．

解答： 解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE= OC=4 ，

∴CD=2CE=8 ．

故选B．

点评： 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

7．下列各组中的两个图形，一定相似的是（）

A． 有一个角对应相等的两个菱形

B． 对应边成比例的两个多边形

C． 两条对角线对应成比例的两个平行四边形

D． 任意两个矩形

考点： 相似图形．

分析： 根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断利用排除法求解．

解答： 解：A、有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，所以这两个菱形一定相似，故本选项正确；

B、对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，故本选项错误；

C、两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故本选项错误；

D、任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，故本选项错误．

故选A．

点评： 本题考查了相似图形，熟记概念并从对应角与对应边两个方面考虑求解是解题的关键．

8．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1．点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是（）

A． B． 1 C． D．

考点： 垂径定理；等边三角形的性质；矩形的性质．

分析： 过点O作OF⊥BC于点F，连接BD、OC，根据垂径定理可得出BF的长，故可得出OB的长，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由△ABC为等边三角形得∠A=60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，易得∠CBD=30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD= BD= ，然后根据矩形的面积公式求解．

解答： 解：过点O作OF⊥BC于点F，连结BD、OC，

∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，AB=1，

∴BF= BC=1，∠OBC=30°，

∴OB= = = ．

∵四边形BCDE为矩形，

∴∠BCD=90°，

∴BD为⊙O的直径，

∴BD= ，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，

∴∠BOC=2∠A=120°，

∵OB=OC，

∴∠CBD=30°，

在Rt△BCD中，CD= BD= ，

∴矩形BCDE的面积=BC?CD= ．

故选C．

点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△BDE：S△ACD=（）

A． 1：5 B． 1：9 C． 1：10 D． 1：12

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为3a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出 ，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．

解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，

∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，

∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，

∴ = ，

∴ = ，

∵DE∥AC，

∴△DBE∽△ABC，

∴S△DBE：S△ABC=1：16，

∴S△ACD=16a﹣a﹣3a=12a，

∴S△BDE：S△ACD=a：12a=1：12．

故选：D．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．

10．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）

①abc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，且x1+x2＜0； ⑤9a+3b+c＞0；⑥当x＜1时，y随x增大而减小．

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①∵开口向下，∴a＞0，

∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，

∵﹣ =1＞0，a＞0，

∴b＜0，

∴abc＞0，

∴正确；

②∵a＞0，c＜0，

∴2a﹣3c＞0故②错误；

③∵﹣ =1，

∴2a+b=0，故③错误．

④由图象可知抛物线与x轴有两个交点，

∴ax2+bx+c=0有两个实数解x1，x2，

∵﹣ =1，x1+x2=﹣ ，

∴x1+x2= ＞0故④错误．

⑤因为不知抛物线与x轴的交点坐标，所以无法确定当x=3时的函数值，

故9a+3b+c＞0无法确定对错，故⑤错误；

⑥由图象可知，在对称轴的左侧y随x增大而减小，

故⑥正确；

故选A．

点评： 本题考查了二次函数的图象与其系数的关系，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项线段等于　±4 　．

考点： 比例线段．

分析： 根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．

解答： 解：设a、b的比例中项为λ，

∵a=4，b=8，

∴λ2=ab=32，

∴λ=± ，

即a、b的比例中等于± ．

点评： 该题主要考查了比例中项等基本概念问题；解题的关键是灵活变形、准确计算．

12．如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则∠ABE的度数为　36°　．

考点： 正多边形和圆．

分析： 先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，求出一个内角的度数，根据△ABE是等腰三角形，一个三角形内角和180°，即可求出∠ABE的大小．

解答： 解：∵360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，

∴正五边形每个内角的度数为108°，即∠A=108°，

又∵△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE= （180°﹣108°）=36°．

故答案为36°．

点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．

13．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，∠O=60°，则图中阴影弓形的面积为　 π﹣ 　．

考点： 扇形面积的计算．

分析： 过点O作OD⊥AB于点D，根据∠O=60°，OA=OB可知△OAB是等边三角形，故∠OAB=60°，由锐角三角函数的定义求出OD的长，再根据S弓形=S扇形AOB﹣S△OAB即可得出结论．

解答： 解：过点O作OD⊥AB于点D，

∵∠O=60°，OA=OB=2，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，

∴OD=OA?sin60°=2× = ，

∴S弓形=S扇形AOB﹣S△OAB= = = π﹣ ．

故答案为： π﹣ ．

点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

14．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为　（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）　．

考点： 位似变换；坐标与图形性质．

分析： 位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．

解答： 解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）

∴A'的坐标为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．

故答案为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．

点评： 此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．

15．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为　（1+ ）：2　．

考点： 相似多边形的性质．

分析： 由题意，把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，先画出图形，根据相似多边形的性质即可解答．

解答： 解：根据题意，一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，

∴得 = ，

整理得 ﹣ ﹣1=0

设 =t则原方程可化为：

t﹣ ﹣1=0，

即t2﹣t﹣1=0，

解得，t= （负值舍去）或t= ．

∴原矩形长边与短边的比为

=t=（1+ ）：2．

点评： 本题考查相似多边形的性质及对应边长成比例的应用，还考查相似多边形周长之比等于相似比．

16．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为　1　．

考点： 三角形的内切圆与内心．

分析： 利用勾股定理求得斜边的长，根据直角三角形三边的长和内切圆的半径之间的关系求解．

解答： 解：Rt△ABC的斜边AC= = =5，

则符合条件的⊙O的半径为： =1．

故答案是：1．

点评： 本题考查了直角三角形的内切圆，直角三角形的三边分别是a、b、c，其中c是斜边，则内切圆的半径是 ．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．

1）求比例式4：3=5：x中x的值．

（2）计算：cos245°+tan60°?sin60°．

考点： 比例的性质；特殊角的三角函数值．

分析： （1）根据比例的性质，可得x的值；

（2）根据特殊角三角函数值，可得实数，根据实数的运算，可得答案．

解答： 解：（1）由比例的性质，得4x=3×5，

解得x= ；

（2）原式=（ ）2+ ×

= +

=2．

点评： 本题考查了比例的性质，（1）利用了比例的性质，（2）要熟记特殊角三角函数值．

18．由地面上A点测得山顶电视塔顶点B和电视塔基地C点的仰角分别为60°和30°，已知山顶C到地平面的垂直高度为50米．求电视塔高BC．

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： 在Rt△ACD中，求出AD，在Rt△ABD中求出BD，继而根据BC=BD﹣CD，即可得出电视塔BC的高度．

解答： 解：在Rt△ADC中，∠D=90°，∠CAD=30°，CD=50m，

∵cot∠CAD= ，

∴AD=CD?cot30°=50× =50 米，

在Rt△ADB中，∠D=90°，∠BAD=60°，

∵tan∠BAD= ，

∴BD=AD?tan60°=50 × =150米，

∴BC=BD﹣CD=150﹣50=100米．

答：电视塔的高度是100米．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们熟练掌握锐角三角函数的定义，难度一般．

19．如图，在△PAB中，C，D分别为AP，BP上的点，若 = = ，AB=8cm，求CD的长．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 由相似三角形的判定方法易证△CPD∽△BPA，利用三角形相似的性质：对应边的比值相等即可求出CD的长．

解答： 解：∵ = = ，∠P=∠P，

∴CPD∽△BPA，

∴ ，

∵AB=8cm，

∴CD= ×8=6cm．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

20．某校九年级有12个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书的阅读量情况，准备从这12个班中抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n，当0≤n＜5时，该学生为一般读者；当5≤n＜10时，该学生为良好读者；当n≥10时，该学生为优秀读者．

（1）下列四种抽取方法：①随机抽取一个班的学生；②从这12个班中随机抽取50名学生；③随机抽取50名男生；④随机抽取50名女生，其中最具有代表性的是哪一种？

（2）由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读书的本数数据如下：

阅读本数n 0 2 4 5 6 8 10 12 14 16

人数 1 1 2 3 12 11 5 8 5 2

根据以上数据回答下列问题：

①求样本中优秀读者的频率；

②估计该校九年级优秀读者的人数；

③在样本中为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．

考点： 列表法与树状图法；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数与频率．

分析： （1）根据抽取方法的代表性可求得答案；

（2）①由样本中优秀读者20人，即可求得样本中优秀读者的频率；

②由①可求得该校九年级优秀读者的人数；

③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：（1）∵①③④不具有全面性，

∴最具有代表性的是②．

故选：②；

（2）①∵样本中优秀读者20人，

∴样本中优秀读者的频率为： = ；

②该校九年级优秀读者的人数为：10×50× =200（人）；

③画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，

∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为： = ．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD= ∠C．

（1）求证：AB是⊙C的切线；

（2）求△DAB的面积．

考点： 切线的判定．

专题： 证明题．

分析： （1）由CB=CD得∠CBD=∠CDB，根据三角形内角和定理得到∠C=180°﹣2∠CBD，由于∠ABD= ∠C，则2∠ABD=180°﹣2∠CBD，即可得到∠ABD+∠CBD=90°，于是可根据切线的判定得到AB是⊙C的切线；

（2）作BE⊥AC于E，如图，先根据勾股定理计算出AC=5，则AD=AC﹣CD=2，再利用面积法计算出BE= ，然后根据三角形面积公式求解．

解答： （1）证明：∵CB=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

∴∠C=180°﹣2∠CBD，

∵∠ABD= ∠C，

∴2∠ABD=180°﹣2∠CBD，

∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB是⊙C的切线

（2）解：作BE⊥AC于E，如图，

在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，

∴AC= =5，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

∵ BE?AC= BC?AB，

∴BE= ，

∴△DAB的面积= ×2× = ．

点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

22．随着城市高楼的增加，高楼火灾越来越受重视，今年11月9日消防日来临前，某区消防中队开展技能比赛．考官在一废弃高楼距地面10米的M处和正上方距地面13米的N处各设置了一个火源．随后消防甲队出场，来到火源的正前方，估计高度后，消防员站在A处，拿着水枪距地面一定高度C处喷出水，只见水流划过一道漂亮的抛物线，准确的落在M处，待M处火熄灭后，消防员不慌不忙，没有做任何调整，只向着楼房移动到B处，只见水流又刚好落在N处．随后的录像资料显示第一次水流在距离楼房水平距离为2米的地方达到最大高度，且距离地面14米（图中P点）．

（1）根据图中建立的平面直角坐标系（x轴在地面上），写出P，M，N的坐标；

（2）求出上述坐标系中水流CPM所在抛物线的函数表达式；

（3）请求出消防员移动的距离AB的长．

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）结合函数图象及题目的实际意义就可以得出结论；

（2）由（1）的结论设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+14，由待定系数法求出其解即可；

（3）设移动的距离AB的长为b米，由（1）的解析式建立方程求出其解即可．

解答： 解：（1）由题意，得

P（2，14），M（0，10），N（0，13）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+14，由题意，得

10=4a+14，

解得：a=﹣1，

∴水流CPM所在抛物线的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+14；

（3）设移动的距离AB的长为b米，由题意，得

13=﹣（0﹣2+b）2+14，

解得：b1=1，b2=3＞2（舍去）．

答：消防员移动的距离AB的长为1米．

点评： 本题考查了点的坐标的运用，待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的平移的性质的运用，解答时将实际问题转化为数学问题求出函数的解析式是关键．

23．如图，AB=3，∠A=∠B=30°，动点O从A出发，沿AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤1.5）．以O为圆心，OA长为半径的⊙O与射线AB，AC的另一个交点分别为P，Q，连接CP，PQ．

（1）当t为何值时⊙O和直线BC相切；

（2）若线段PC和⊙O只有一个交点，请求出t的取值范围；

（3）设△QCP的面积为S，试求S与t之间的函数表达式，并求S的最大值．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）先过点C作CO⊥BC交AB于点O，此时⊙O和直线BC相切，再设AO=x，利用RT△OCB列出方程求解即可，

（2）由图可得分两种情况：当①0＜t≤ 时，线段PC和⊙O只有一个交点；②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；

（3）分三种情况①当t＜1时，②当t=1时，③1＜t≤1.5时分别求解即可．

解答： 解：（1）如图1，过点C作CO⊥BC交AB于点O，

∵∠A=∠B=30°，

∴∠ACB=120°，

又∵∠OCB=90°，

∴∠OCA=30°，

∴此时⊙O和直线BC相切，

设AO=x，则BO=3﹣x，

∵AO=OC，

在RT△OCB中，3﹣x=2x，

解得x=1．

∴当t=1时，⊙O和直线BC相切；

（2）①如图2，作CD⊥AB交AB于点D，

∵AB=3，∠A=∠B=30°，

∴AD= ，

∴AO= ，

∴当0＜t≤ 时，线段PC和⊙O只有一个交点；

②当1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点，

综上所述：当0＜t≤ 或1＜t≤1.5时，线段PC和⊙O只有一个交点；

（3）①当t＜1时，如图3，作CD⊥AB交AB于点D，

∵AB=3，∠A=∠B=30°，

∴AD= ，

∴AC= ，

∵∠AQP=90°，∠A=30°，

∴AQ= AP= AO，QP=AO，

∴QC=AC﹣AQ= ﹣ AO，

∴S= QC?QP= （ ﹣ t）?t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴S的最大值为 ；

②当t=1时，S=0，

③1＜t≤1.5时，如图4，

∵∠AQP=90°，∠A=30°，

∴AQ= AP= AO，QP=AO，

∵AC= ，

∴QC=AQ﹣AC= AO﹣ ，

∴S= QC?QP= （ t﹣ ）?t= （t﹣ ）2+ ，

∴当t=1.5时，S有最大值为 ．

点评： 本题主要考查了圆的综合题，涉及切线，等腰三角形，特殊直角三角形及三角形的面积，解题的关键是根据情况正确的讨论求解，不要漏解．