贵阳市2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．方程 的根的情况是

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根

2.在Rt△ABC中，∠C=90o， ，则 的值为

A. B. C. 　 D.

3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是

A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥

4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是

A. B. C. D.

5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为

A. 1 B. 2 C. 4 　 D. 8

6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是

A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0

7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为

A． B． C．1 D．2

8．如图1，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的

A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2．

10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m.

11．如图，抛物线 与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为 ， ，则关于x的方程 的解为__________．

12．对于正整数 ，定义 ，其中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例如： ， ．

规定 ， （ 为正整数）．例如： ， ．

（1）求： ____________， ______________；

（2）若 ，则正整数m的最小值是_____________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算： .

14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．

15.已知 是一元二次方程 的实数根，求代数式 的值．

16.抛物线 平移后经过点 ， ，求平移后的抛物线的表达式．

17.如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P是反比例函数 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

18.如图，△ABC中，∠ACB=90°， ， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．

（1）求线段CD的长；

（2）求 的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ．

（1）求m的取值范围；

（2）若 ，且 ，求整数m的值．

20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示 ，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）：

质量档次 1 2 … x … 10

日产量（件） 95 90 …

… 50

单件利润（万元） 6 8xkb1 …

… 24

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

21.如图，四边形ABCD是平行四边形 ，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；

（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长．

22．阅读下面材料：

小明观察一个由 正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

请回答：

（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在 点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了 求出 的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足 于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

请你帮小明计算：OC=_______________； =___________ ____；

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，计算： =_______________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分）

23.在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ， .

（1） 求代数式mn的值；

（2） 若二次函数 的图象经过点B，求代数式 的值；

（3） 若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直线 的下方，结合函数图象，求 的取值范围.

24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD， 连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段

AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，

连接BF，AF．

① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

25. 在平面直角坐标系xOy中，设点 ， 是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：若 的最大值为m， 的最大值为n，则 为图形W的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2， 取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积 ．

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；

②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ；

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

贵阳市2015九年级数学上册期中测试题(含答案解析)参考答案及评分参考

阅卷须知:

1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可．

2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分．

3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数．

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8

答 案 A A D C B B C B

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9． ； 10． 24 ；

11． ； 12． （1）37，26；（每个答案1分）（2）6.（2分）

三、解答题：（本题共30分，每小题5分）

13．（本小题满分5分）

解：原式 ……………………………………………………………………4分

． … ……………………………………………………………………………5分

14. （本小题满分5分）

证明：∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD⊥BC． …………………………………………………………………………1分

∴∠ADC=90°．

∵BE⊥AC，

∴∠BEC=90°．

∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………3分

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD∽△BCE．……………………………………………………………………5分

15. （本小题满分5分）

解：由已知，可得 ．………………………………………………………1分

∴ ． ………………………………………………………………………2分

∴原式= ．………………………………………………5分

16. （本小题满分5分）

解一：设平移后抛物线的表达式为 ． …………………………………1分

∵平移后的抛物线经过点 ， ，

∴ ………………………………………………………………………3分

解得 …………………………………………………………………………4分

所以平移后抛物线的表达式为 ． ………………………………5分

解二：∵平移后的抛物线经过点 ， ，

∴平移后的抛物线的对称轴为直线 . …………………………………………1分

∴设平移后抛物线的表达式为 ． ………………………………2分

∴ ．.………………………………………………………………3分

∴ ．.………………………………………………………………………………4分

所以平移后抛物线的表达式为 ． ………………………………5分

17. （本小题满分5分）

解：（1）将 代入 中，得 ．

∴点A坐标为 ．………………………………………………………………1分

∵点A在反比例函数 的图象上，

∴ ．……………………………………………………………………2分

∴反比例函数的解析式为 ． ………………………………………………3分

（2） 或 ．……………………………………………………………5 分

18. （本小题满分5分）

解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°， ， BC=8，

∴ ．…………………………………………………………1分

∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，

∴ ．…………………………………………………………………2分

（2）解法一：过点C作CF⊥AB于F，如图．

∴∠CFD=90°．

在Rt△ABC中，由勾股定理得 ．

∵ ，

∴ ．………………………………3分

∵BE⊥CE，

∴∠BED=90°．

∵∠BDE=∠CDF，

∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分

∴ ． …………………………………5分

解法二：∵D 是AB中点，AB=10，

∴ ．……………………………………………………………………3分

∴ ．

在Rt△ABC中，由勾股定理得 ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ． ………………………………………………4分

∵BE⊥CE，

∴∠BED=90°．

∴ ．……………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分 ）

19．（本小题 满分5分 ）

解：（1）由已知，得 且 ，

∴ 且 ．…………………………………………………………………2分

（2）原方程的解为 ．

∴ 或 ． …………………………………………………………………3分

∵ ，∴ ， ．∴ ．

∵ ， ∴ ．∴ ．

又∵ ，

∴ ．……………………………………………………………………4分

∵m是整数，∴ ． ………………………………………………………5分

20. （本小题满分5分）

解：（1） ． ……………………………2分

（ 且x为整数）．

（2）∵ ．…………………………3分

又∵ 且x为整数，

∴当 时，函数取得最大值1210．…………………………………………4分

答 ：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．

………………………………………………………………5分

21. （本小题满分5分）

解：（1）连接OB,OC．

∵AD与⊙O相切于点A，

∴FA⊥AD．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴FA⊥BC．……………………………………1分

∵FA经过圆心O，

∴OF⊥BC于E， ．

∴∠OEC=90°，∠COF=∠BOF．

∵∠BOF=2∠BAF．

∴∠COF=2∠BAF．

∵∠PCB=2∠BAF，

∴∠PCB=∠COF．

∵∠OCE+∠COF=180° ∠OEC=90°，

∴∠OCE+∠PCB=90°，即∠OCP=90°．

∴OC⊥PC．

∵点C在⊙O上，

∴直线PC是⊙O的切线．…………………………………………………………2分

（2） ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=2．

∴BE=C E=1．

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

∴ ．…………………………………………………………3分

设⊙O的半径为r，则 ， ．

在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

∴ ．

∴ ．

解得 ．…………………………………………………………………………4分

∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°，

∴△OCE∽△CPE．

∴ ．

∴ ．

∴ ．……………………………………………………………………………5分

22.（本小题满分5分）

（1）如图，线段CD即为所求；……………………1分

（2）OC= ， =5；……………………3分

（3） = ．…………………………………5分

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．（本小题满分7分）

解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ．………………………………………………………………………1分

∴反比例函数的解析式为 ．

∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ．………………………………………………………………………2分

（2）∵二次函数 的图象经过点 ，

∴ ．…………………………………………………………………3分

由（1）得 ，

∴原式

．……………………………………………………………………4分

（3）由（1）得反比例函数的解析式为 ．

令 ，可得 ，解得 ．

∴反比例函数 的图象与直线 交于

点 ， ．…………………………5分

当二次函数 的图象经过点 时，可得 ；

当二次函数 的图象经过点 时，可得 ．

∵二次函数 的顶点为 ，

∴由图象可知，符合题意的 的取值范围是 或 ．…………7分

24. （本小题满分7分）

（1） AD+DE=4． ……………………………………………………………………………………1分

（2）① 补全图形．……………………………………………………………………………………2分

解： 设DE与BC相交于点H，连接 AE，

交BC于点G，如图．

∠ADB=∠CDE =90°，

∴∠ADE=∠BDC．

在 △ADE与△BDC中，

∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3分

∴AE= BC ，∠AED=∠BCD．

DE与BC相交于点H，

∴∠GHE=∠DHC．

∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分

线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，

∴EF = CB=4， EF // CB．

∴AE= EF．

CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°．

AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°．

∴AF= =4 ． …………………………………………………………………………5分

② ． ………………………………………………………………………………7分

25.（本小题满分8分）

解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分

② 1．………………………………………………………………………………2分

（2） 2． …………………………………………………………………………………4分

（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．

当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．

………………………………5分

当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．

过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，

过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点

G，则可得四边形EFGH是矩形．

当点P，Q分别与点A，C重合时， 取得最大值 ，

且最大值 ；

当点P，Q分别与点B，D重合时， 取得最大值 ，且最大值 ．

∴图形W的测度面积 ．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°．

∵∠AEB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°．

∴∠BAE=∠CBF．

又∵ ，

∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分

∴ ．

设 ，则 ，

在Rt△ABE中，由勾股定理得 ．

∴ ．即 ．

∵ ，∴

易证△ABE≌△CDG． ∴ ．

∴ ， ．

∴

∴当 ，即 时，测度面积S取得最大值 ．…………7分

∵ ，∴ ．∴ ．

∴当顶点 A，C都不在x轴上时，S的范围为 ．

综上所述，测度面积S的取值范围是 ．………………………………………8分