房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

1. 抛物线 的顶点坐标是

A． B． C． D．

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于

A．30° B．40° C．60° D．80°

3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于

A． B． C． D．

4. 已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为

A. B. C. D.

5. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为

A．1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1

6. 如图，弦AB ? OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于

A． B． C． D．

7. 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一根旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为

A． 10m B． 12m C． 15m D．40m

8. 如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN=60°，过点A的切线AB交MN于点B. 设OP=x，△PAB的面积为 y，则下列图象中，

能表示 与 的函数关系的图象大致是

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE∥BC，

若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于 ．

10．如图，⊙ 的半径为2， ， 切⊙ 于 ，弦 ，

连结 ， 则图中阴影部分的面积为 ．

11. 如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°，

⊙O的半径为10，则AB= ．

12. 抛物线 （其中n是正整数）与x轴交于An、Bn两点，若以AnBn表示这两点间的距离，则 ; ；

(用含n的代数式 表示)

二、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算：

解：

14.如图， 为线段 上一点， ， ， ．求证： ．

解:

15.已知二次函数 的图象与x轴有交点，求k的取值范围．

解:

16. 如图，在 中， ， ， 为 上一点， ， ，求 的长.

解:

17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD的高度. 她先在A处测得楼顶C的仰角 30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角 60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米）参考数据： ， ，

解:

18. 如图，直线y=3x与双曲线 的两个交点分别为A (1 , m)和B．

（1）直接写出点B坐标，并求出双曲线 的表达式；

（2）若点P为双曲线 上的点（点P不与A、B重合），且满足PO=OB，直接写出点P坐标．

解:

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

19. 抛物线 与x轴分别交于点A (－1,0)和点B，与y轴的交点C坐标为(0,－3)．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC的值最小，求点D的坐标.

解:

20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．

解:

21.如图，AB是⊙O的 直径， 点C在⊙O上，CE? AB于E, CD平分?ECB, 交过 点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD.

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AE=9, CE=12, 求BF的长.

解:

22. 阅读下面的材料：

小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：

小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）= 12 .

请你参考小明的解题思路，回答下列问题：

(1) 计算：2※3= ；

(2) 若5※m=56 ，则m= .

(3) 函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）

五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）

23. 直线y=﹣3x+3与x轴交于点A, 与y轴交于点B，抛 物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，与x轴的另一交点为C．

（1）求a，k的值；

（2）若点M、N分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．

24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点 P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙O的切线．

解:

25. 已知抛物线 ．

（1） 求证：无论 为任何实数，抛物线与 轴总有两个交点；

（2） 若A 、B 是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和 的值；

（3） 若反比例函数 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 ，且满足23，求k的取值范围.

解:

房山区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案和评分参考

一、选择题（每题4分，共32分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A D D C A C D

二、填空题（每题4分）

9. 325 10. 23π 11. 10 12. (前两空每1分，最后一空2分)

三、解答题

13. 解：原式=1-2×32 -8+23 …………………………4分

=3 -7 ………………………………………5分

14. 证明 ：

∵ ，

∴ ．

∵ 为线段 上一点，且 ，

∴ ．

∴ ． …………………………………………………………………2分

∵ = ， …………………………………………………………………3分

∴△ ∽△ ． ………………………………………………………………4分

∴ ．………………………………………………………………………5分

15. 由题意可知： ……………………2分

即 …………………………3分

解得 ……………………………………4分

∴ k的取值范围是：k≤4且k≠3……………5分

16. 解：在 中， ， ，

∴

∴ …………………………………1分

在 中， ，∴ ，……2分

∴ ……………………………………3分

∴ ……… …………4分

∴ ……………………………5分

17. ∵ 30°， 60°，∴∠ECF＝ ＝30°. ∴ .

在Rt△CFG中， ……………………………………………3分

∴ . ………………………………………………5分

答：这座教学楼的高度约为10.3米.

18.（1）点B坐标为（-1，-3）……………………………………1分

∵直线y=3x过点A(1，m)

∴m=3×1=3

∴A(1,3) ……………………………………………………2分

将A(1,3)代入y=kx 中，得 k=xy=1×3=3

∴y=3x …………………………………………… ……………3分

(2) P1(-3,-1), P2(3,1)………………………………………………5分

四、解答题

19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线 中

得： ， 解得： …………1分

∴抛物线的解析式为 …………………2分

(2)由 =

知抛物线的对称轴为直线x=1，点B(3,0)……………3分

连接BC，交对称轴x=1于点D

可求得直线BC:y=x-3

当x=1时，y=-2

∴点D(1,-2)……………………………………………5分

20. 如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，……1分

∵CD=10cm，AB=60cm，

∴设半径为r，则OD=r﹣10，…………………………2分

根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，…………………3分

解得：r=50，…………………………………………5分

∴这个车轮的外圆半径长为50．

21. （1）证明：∵ ,

∴ .

∵ CD平分 , BC=BD,

∴ , .

∴ . …………………………1分

∴ ∥ .

∴ .

∵ AB是⊙O的直径,

∴ BD是⊙O的切线. ………………………………………………………2分

（2）连接AC，

∵ AB是⊙O直径，

∴ .

∵ ,

可得 .

∴ ………………………………………………………3分

在Rt△CEB中，∠CEB=90?, 由勾股定理得 ……………4分

∴ .

∵ , ∠EFC =∠BFD,

∴ △EFC∽△B FD. ………………………………………………………5分

∴ .

∴ .

∴ BF=10. ………………………………………………………………………6分

22. 解：（1） …………………1分

(2) ±6 ……………………3分

（3）D………………………5分

五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）

23. (1)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，

∴ ， . ……………………………………2分

又抛物线 经过点 ，

∴ 解得

即 ， 的值分别为 ， . ……………………………4分

（2） …………………………………7分

24. （1）解：∵AC=12，

∴CO=6，

∴ = =2π；

（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO；

（3）证明：如图，连接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（1）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直径，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又 ∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC为EF的中垂线，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠E AP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴ OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切线．

25．（1）证明：令 .

得 .

不论m为任何实数，都有(m－1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分

∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点. ……………… 2分

（2）解：抛物线 的对称轴为

∵抛物线上两个不同点A 、B 的纵坐标相同，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则 ．

∴ . ……………………………………………………… 3分

∴抛物线的解析式为 ． ………………… 4分

∵A 在抛物线 上，

∴ .

化简，得 .

∴　 ． ……………………………………………… 5分

（3） 当23时，

对于 ，y随着x的增大而增大，

对于 ，y随着x的增大而减小.

所以当 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，

得 ＞ ，

解得k＞5. …………………………………6分

当 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，

得 ＞ ，

解得k＜18. ……………………………………7分

所以k的取值范围为5＜k＜18. ……………………………8分