丰台区2015九年级数学上学期期中试题(含答案解析)

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1. 如果 ，那么下列比例式成立的是

A． B． C． D．

2．二次函数 的最大值为

A．1　 　 　B．－1 　 C．3　 　D．－3

3．⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，如果O1O2=5cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切

4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠BAC=30°，那么∠BOC的度数是

A．60○ B．45○ C．30○ D．15○

5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3， AB=6，

那么AD的值为

A. B. C. D.

6．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄

AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为

A． B．

C． D．

7. 如果点A ，B ，C 都在反比例函数 的图象上，那么

A． B． C． D．

8．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，2），动点A以每

秒1个单位长的速度从点O出发沿 轴的正方向运动，M是线段AC的中点，将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转 得到线段AB．联结CB．设△ABC的面积为S，运动时间为 秒，则下列图象中，能表示S与 的函数关系的图象大致是

A B C D

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且 DE∥BC，如果

AD∶DB=3∶2， EC=4，那么AE的长等于 ．

10．如图，AB是⊙O的弦，OC ⊥AB于点C，如果 AB= ，OC=3，那么⊙O的半径等于 ．

11．在某一时刻，测得一身高为1.80m的人的影长为3m，同时测得一根旗杆的

影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．

12．在正方形网格中， 的位置如图所示，则tanB的值为_____ _____．

13．关于x的二次函数 的图象与y轴的交点在x轴的上方，请 写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．

14．在平面直角坐标系 中，对于点 ，其中 ，我们把点

叫做点P的衍生点.已知点 的衍生点为 ，点 的衍生点为 ，点 的衍生点为 ，…，这样依次得到点 ， ， ，…， ，…，如果点 的坐标为 ，

那么点 的坐标为________；如果点 的坐标为 ，且点 在双曲线 上，

那么 ________．

三、解答题（本题共20分，每小题5分）

15．计算： .

16．已知二次函数y = x2－4x＋3.

（1）把这个二次函数化成 的形式；

（2）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x为何值

时，y0．

17．如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，如果AB﹦8，

AD﹦4，求sin∠DCP的值.

18．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于M，N两点，已知点M（-2，m）.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标．

四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分）

19．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产

品每天的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足 （20≤ ≤40），设销售这 种产品每天的利润为W（元）

（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价 （元）之间的函数表达式；

（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？

20. 如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前

进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. （参考数据: ）

21．如图，PB切 于点B，联结PO并延长交 于点E，过点B作BA⊥PE交 于

点A，联结AP，AE．

（1）求证：PA是 的切线；

（2）如果OD＝3，tan∠AEP＝ ，求 的半径．

22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形

互为同相似，如图1， ∽ ，则称 与 互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2， ∽ ，则称 与 互为异相似.

图1 图2

（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC， △HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中

△ADE与△ABC互为 相似，△HXG与△HGF互为 相似，，△OPQ与△OMN互为 相似；

图3 图4 图5

（2）在锐角△ABC中，?A?C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这

个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有_____条.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25 题8分）

23. 已知抛物线 与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）如果A 、B 是抛物线上的两个不同点，求 的值和抛物线的表达式；

（3） 如果反比例函数 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 ，

且满足45，请直接写出k的取值范围.

24. 已知：如图，矩形ABCD中，AB AD.

（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全

图形，并判断∠AEB与∠CEB的数量关系；

（2）在（1）的条件下，设 ， ， 试用等式表示a与b间的数量关系并加以

证明.

25．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视

角.如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C对线段AB的视角.

如图2，在平面直角坐标系 中，已知点D（0，4），E（0，1）.

（1）⊙P为过D，E两点的圆， F为⊙P上异于点D，E的一点.

①如果DE为⊙P的直径，那么点F对线段DE的视角∠DFE

为_________度；

②如果⊙P的半径为 ，那么点F对线段DE的视角∠DFE为_________度；

（2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠DGE最大时，求点G的坐标.

丰台区2015九年级数学上学期期中试题(含答案解析)参考答案及评分参考

一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A D A A C B C

二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）

题 号 9 10 11 12 13 14

答 案 6 5 15

答案不唯一

1

三、解答题（共20分，每小题5分）

15．解：原式＝ ------3分

------5分

16．解：（1）∵ ．------2分

（2）二次函数图象如右图，当 时， ．------5分

17．解：过点P作PE⊥CD于点E， ------1分

∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，∠DAB＝∠ADC＝90°．

∵AP是∠DAB的角平分线，∴∠DAP＝ ∠DAB＝45 °．

∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°．∴∠ADP＝45°．∴∠CDP＝45°．

在Rt△APD中， AD＝4，

∴DP＝AD?sin∠DAP＝ ． ------2分

在Rt△DEP中，∠DEP＝90°，

∴PE＝DP?sin∠CDP＝2，DE＝DP?cos∠CDP＝2．

∴CE＝CD—DE＝6． ------3分

在Rt△DEP中，∠CEP＝90°， . ------4分

∴sin∠DCP＝ . ------5分

18．解：（1）∵点M（-2，m）在正比例函数 的图象上，∴ ． ------1分

∴M（-2，1）． ------2分

∵反比例函数 的图象经过点M（-2，1），∴k＝-2×1＝-2．

∴反比 例函数的解析式为 ． ------ 3分

（2）点P的坐标为（0， ）或（0， ） -------5分

四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分）

19．解：（1） ------- 1分

． ------- 3分

（2） ． ------4分

∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．------5分

20．解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，------- 1分

在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，

∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝20 ． ------- 3分

在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，

∴CD＝CB?sin∠CBD＝ （海里）． ------- 5分

∵ ﹥12，

∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区． ------- 6分

21．（1）证明：如图，联结OA，OB ．

∵PB是⊙O的切线，

∴ ∠PBO＝90°． ------- 1分

∵ OA＝OB，BA⊥PE于点D，

∴ ∠POA＝∠POB． ------- 2分

又∵ PO＝PO，

∴ △PAO≌△PBO．∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．

∴PA⊥OA．

∴ 直线PA为⊙O的切线． ------- 3分

（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，

∵tan∠AEP＝ ＝ ，∴设AD＝x，DE＝2x．----- 4分

∴OE＝2x—3．

在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得

(2x－3)2＝x2＋32． ------5分

解得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．∴ AD＝4，OA＝OE＝2x－ 3＝5．

即⊙O的半径的长5． ------ 6分

22．解：（1）同，异，同． ------3分

（2） 1或2． ------5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）根据题意得， ， ------1分

解得 ------2分

（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x＝1，点A和点B是抛物线上的两个对称点，

则 ，解得 ------3分

∴点A（-1，0），∴ ------5分

（3） ------7分

24．解：（1）如图1， ------1分

∠AEB＝∠CEB． ------2分

（2） . ------3分

证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F， ------4分

∵ AB＝AE，∴

∵∠AFB＝∠C=90°，∠ABE＝∠CEB，

∴△ABF∽△BEC. ------5分

∴ ． ------6分

∴ ，

即 ------7分

25.解：（1）①90°； ------1分

②60°或120°． ------3分

（2）如图，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大．------4分

由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，∴PG＝2.5. ------5分

过点P作PH⊥DE于点H， ∴ ------6分

∵PG⊥x轴，∴四边形PHOG为矩形.

联结PE，在Rt△PEH中， PE＝PG＝2.5，EH＝1.5，∴PH＝2．

所以点G（2，0）． ------8分